GEOMETRÍA NO-EUCLIDEANA 213 



mueve y cambia de forma, las varias líneas de dicha figura puedan 

 variar de forma sin alterar su longitud. En general, esta figura 

 flexible é inextensible no puede cambiar de sitio sin abandonar la 

 superficie; pero hay ciertas superficies particulares para las cuales 

 semejante movimiento sería posible; estas son las superficies de 

 curvatura constante. 



Si tomamos de nuevo la comparación que previamente hicimos é 

 imaginamos que, en una de estas superficies, vivan seres sin es- 

 pesor, ellos considerarían posible el movimiento de una figura 

 cuyas líneas todas conservan una longitud constante. Semejante 

 movimiento, por otra parte, parecería absurdo para animales sin 

 espesor que vivieran en una superficie de curvatura variable. 



Dichas superficies de curvatura constante sonde dos clases: 



Algunas son de curvatura positiva y pueden deformarse como 

 para situarlas en una esfera. 



La geometría de estas superficies es, pues, la geometría esférica, 

 ó sea la de Riemann. 



Otras son de curvatura negativa. Beltrami ha demostrado que la 

 geometría de estas superficies no es otra que la de Lowatchewski. 

 Las dos geometrías bi-dimensionales de Riemann y Lowatchewski 

 hállanse así de nuevo ligadas á la geometría de Euclides. 



Interpretación de la geometría no-euclidiana. — De esta manera 

 desaparece la objeción con respecto á las geometrías de dos di- 

 mensiones. 



Fácil sería estender el razonamiento de Beltrami á las geome- 

 trías de tres dimensiones. Los espíritus á los cuales no repugna el 

 espacio de cuatro dimensiones, no verán en ello ninguna dificultad; 

 pero son pocos. Preferimos, pues^ proceder de otra manera. 



Consideremos un plano particular que llamáremos fundamental, 

 y construyamos una especie de diccionario, formando una doble 

 serie de palabras, escritas en dos columnas, correspondientes una 

 á otra, de la misma manera que se corresponden en los dicciona- 

 rios ordinarios las palabras que tienen la misma significación en 

 dos distintos lenguages. 



Espacio. — Porción de espacio situado sobre el plano funda- 

 mental. 



Plano. — Esfera que corta ortogonalmente al plano fundamental. 



Recta. — Circuníerencia que corta ortogonalmente al plano fun- 

 damental. 



