¿14 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Esfera. — Esfera. 



Circulo. — Círculo. 



Ángulo. — Ángulo. 



Logaritmo de la relación 

 anarmónica de estos dos pun- 

 tos y las intersecciones del 



Distancia entre dos puntos <[ plano fundamental con una 



circunferencia que pasa por es- 

 tos dos puntos y que corta orto- 



gonalraente á aquel. 



Tenemos ahora los teoremas de Lowachewski y traduzcámoslos 

 por medio de este diccionario como traduciríamos un texto alemán 

 con ayuda de un diccionario alemán-francés. Obtend^^emos entonces 

 los teoremas de la geometría ordinaria. 



Por ejemplo, éste teorema de Lowatchewski: «La suma de los 

 ángulos de un triángulo es menor que dos ángulos rectos » ; se tra- 

 duce así : «Si un triángulo curvilíneo tiene por lado los arcos de 

 un círculo que al ser prolongado cortara octogonalmente al plano 

 fundamental, la suma de los ángulos de este triángulo curvilíneo 

 será menor que dos rectos». 



Así, por más lejos que se lleven los resultados de las hipótesis 

 de Lovy^atchewski jamás se llegará á contradicción. Pues, en ver- 

 dad, si dos de los teoremas de Lowatchewski fueran contradicto- 

 rios, las traducciones de estos dos teoremas, hechas con ayuda de 

 nuestro diccionario, serían también contradictorias; pero estas tra- 

 ducciones son teoremas de la geometría ordinaria y todo el mundo 

 se halla de acuerdo en que la geometría ordinaria está libre de 

 contradicciones. 



¿De dónde viene esta costumbre? ¿es ella justificada? No puedo 

 tratar aquí esta cuestión que es muy interesante y, en mi opinión, 

 soluble. La objeción que he formulado antes no existe pues. 



Pero esto no es todo. La geometría de Lowatchewski, suscep- 

 tible de una interpretación geométrica, cesa de ser un frivolo 

 ejercicio lógico, y es susceptible de aplicación: no tengo tiempo de 

 mencionar aquí ninguna de estas aplicaciones ni el uso de ellas, 

 hecho por Klein y yo para la integración de las ecuaciones linea- 

 • res. 



Esta interpretación, además, no es única y se pueden construir 

 varios diccionarios análogos a! dado más arriba, y con los cuales 



