GEOMETRÍO NO-EUCLIDEANA 215 



podemospor una simple «traducción» transformarlos teoremas de 

 Lowatchewski en teoremas de geometría ordinaria. 



Axiomas implícitos. — ¿Son los axiomas explícitamente enun- 

 ciados en los tratados, los únicos fundamentos de la geometría? 



Puede uno estar seguro de lo contrario, cuando se vé que después 

 de haberlos abandonado sucesivamente, restan aún algunas pro- 

 posiciones comunes á los teoremas de Euciides, Lowatchewski y 

 Riemann. Estas proposiciones deben descansar sobre algunas pre- 

 misas, que los geómetras admiten, aún cuando no las establecen. 

 Es interesante tratar de desentrañarlas de las demostraciones clá- 

 sicas. 



Stuart Mili afirma que toda definición contiene un axioma^, pues 

 al definir un objeto se afirma implícitamente su existencia. Esto 

 es ir demasiado lejos : rara vez se da una definición en matemáti- 

 cas sin hacerla seguir de la demostración de la existencia del objeto 

 definido, y cuando es omitida es generalmente á causa de que 

 el lector puede suplirla con facilidad. No debe olvidarse que la 

 palabra existencia no tiene el mismo sentido cuando se trata de 

 una creación matemática que al tratarse de un objeto material. 

 Una creación mateinática existe, con tal que su definición no en- 

 cierre contradicción, ni consigo misma ni con las propiedades pre- 

 viamente admitidas. 



Pero si la observación de Stuart Mili no puede ser aplicada á 

 todas las definiciones, no por eso es menos cierta para algunas 

 de ellas. 



A veces se define el plano de la manera siguiente : el plano es 

 una superficie tal que la recta que une dos puntos cualesquiera de 

 él está siempre contenida en la superficie. 



Esta definición esconde manifiestamente un nuevo axioma: po- 

 díamos en verdad alterarla, lo cual sería mejor, pero entonces sería 

 necesario enunciar más explícitamente el axioma. 



Otras definiciones dan lugar á reflexiones no menos importantes. 



Tal es, por ejemplo, la de la igualdad de dos figuras: dos figu- 

 ras son iguales cuando pueden ser superpuestas; para superpo- 

 nerlas es necesario desplazar una de ellas hasta que coincida con 

 la otra; pero, ¿cómo debe ser desplazada? Si lo preguntamos, se 

 contestaría que debe serlo sin cambiar su forma, y á la manera 

 de un sólido invariable. Será entonces evidente que « se raciocina 

 en un círculo », 



