GEOMETRÍA NO-EUCLIDEANA 217 



uno que me parece digno de mencionarse, no sólo porque ha dado 

 lugar á una discusión reciente, sino á causa de que abandonán- 

 dolo, puede construirse una cuarta geometría, tan coherente como 

 las de Euclides, Lowatchewski y Riemann. 



Para demostrar que podemos siempre leventar por un punto A, 

 una perpendicular á una recta AB, se considera móvil al rededor 

 del punto A, una recta AC, primeramente en coincidencia con la 

 línea íija AB ; y se la hace girar al rededor del punto A hasta que 

 se halle en la prolongación de AB. 



Establecemos así dos proporciones: primero, que tal rotación es 

 posible, j ademas, que puede ser continuada hasta que las dos lí- 

 neas estén en una recta. 



Si se admite el primer punto y se rechaza el segundo, somos 

 conducidos á una serie de teoremas aún más curiosos que los de 

 Lowatchewski y Riemann pero igualmente libres de contradicción. 



Indicaré sólo uno de ellos, y no el más singular : 



U?i.a verdadera linea recta puede ser perpendicular á si misma. 



El teorema de Lie. — El número de axiom'as implícitos introdu- 

 cidos en las demostraciones clásicas es mayor de lo que sería ne- 

 cesario, y sería interesante reducirlas á un mínimun. Podemos 

 preguntarnos, si esta reducción es posible, si el número de axio- 

 mas necesarios y de geometrías imaginables no es infinito. 



El teorema de Lophus Lie domina toda esta discusión: puede 

 ser iniciado así: 



Supongamos admitidas las siguientes premisas: 



r El espacio tiene ?i dimensiones ; 



2^ Es posible el movimiento de una figura invariable; 



3^ Para determinar la posición de esta figura en el espacio son 

 necesarias p condiciones. 



El número de geometrías compatibles con estas premisas será li- 

 mitado. 



Puedo aún añadir, que si ?i es dado, puede ser asignado á /) un 

 límite superior. 



Por consiguiente, si es admitida la posibilidad del movimiento, 

 sólo puede ser inventado un número finito (y éste restringido) de 

 geometrías. 



Las geometrías de riemann. — Sin embargo, este resultado parece 

 ser contradicho por Riemann, porque éste investigador construye 



