218 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



un número infinito de geometrías diferentes, y aquella que gene- 

 ralmente lleva su nombre es sólo un caso particular. 



Todo depende, dice, de la manera cómo definimos la longitud 

 de una curva. Pero hay un número infinito de maneras de definir 

 este largOj, y cada una de éstas puede ser el punto de partida de 

 una nueva geometría. 



Esto es perfectamente cierto; pero muchas de estas definiciones 

 son incompatibles con el movimiento de una figura invariable, el 

 cual se supone posible en el teorema de Lie. «Estas geometrías de 

 Riemann, tan interesantes bajo muchos puntos de vista, pueden 

 entonces permanecer sólo puramente analíticas, y no se prestan á 

 demostraciones análogas cá las de Euclides. 



La NATURALEZA DE LOS AXIOMAS. — Mucbos malemá ticos sólo con- 

 sideran á la geometría de Lowatchewski como una simple curiosi- 

 cad lógica ; algunos de ellos, sin embargo, han ido más adelante. 

 Desde que son posibles varias geometrías ¿es seguro que la nues- 

 tra es la verdadera? La experiencia indudablemente nos enseña 

 que la suma de los ángulos de un triángulo es igual á dos rectos; 

 pero esto es solo porque operamos en triángulos muy pequeños; 

 la diferencia, según Lowatchewski, es proporcional á la superficie 

 del triángulo; ¿no se hará sensible si trabajamos con triángulos 

 mayores, ó si nuestros métodos de medida se hacen más exactos? 

 La geometi'ía de Euclides sería entonces, sólo una geometría pro- 

 visoria. 



]*ara discutir esta cuestión, deberíamos, ante todo, investigar la 

 naturaleza de los axiomas geométricos. 



¿Son conclusiones sintéticas a priori, como decía Rant? 



Se nos impondrían con tal fuerza, que no podríamos concebir la 

 proposición contraria, ni construir sobre ella un ediiicio teórico. 

 No podría haber una geometría no-euclideana. 



Para convencerse uno de ello, tomemos una verdadera conclu- 

 sión sintética apriori; por ejemplo la siguiente : 



Si se toma una serie infinita de números enteros y positivos, todos 

 diferentes entre si, siempre habrá un número que será menor que 

 todos los otros. 



O esta otra, que le es equivalente: 



.S¿ un teorema es verdadero para el número 4, y si se ha demos- 

 trado que es verdadero para ri -|- i, con tal que sea verdadero para n, 

 entonces será cierto para todos los números enteros y positivos. 



