COSMOS 



mayor que el cuadrado de su radio, como lo 

 indica el número tí. 



Hay que distinguir la rectificación y cua. 

 dratura numéricas, basadas en el 



Rectificación y 



cuadratura cúlculo dc la magultud de Ti, de 



coiistructivaB. .. . , 



aquellos problemas que requieren 

 una línea recta igual en longitud á la circun- 

 ferencia de un circulo ó al perímetro de un 

 cuadrado de área igual á la del círculo, pro- 

 ducida constructivamente sin tomaren consi- 

 deración su radio ó su diámetro; problemas 

 que propiamente podrían llamarse «rectifica- 

 ción constructiva» y «cuadratura constructi- 

 va.» Aproximativamente, por supuesto, em- 

 pleando un valor aproximado de -k, estos 

 problemas son fáciles de resolver. 



Pero resolver en geometría un problema 

 de construcción, quiere decir resolverlo con 

 exactitud matemática. Si el valor de ■ji fue- 

 se exactamente igual á la relación de dos nú- 

 meros enteros, la rectificación constructiva 

 no presentaría dificultades. Por ejemplo, su- 

 pongamos que la circunferencia de un círcu- 

 lo fuese exactamente 3Y7 veces mayor que su 

 diámetro; podría entonces dividirse éste en 

 siete partes iguales, lo cual podría ser fácil 

 ejecutarlo con regla y compás mediante los 

 principios de planimetría; agregaríamos auna 

 de estras partes una línea recta exactamente 

 tres veces mayor que el diámetro, y obten- 

 dríamos así una línea recta exactamente igual 

 á la circunferencia del círculo. Pero de he- 

 cho, y como se ha demostrado últimamente, 

 no existen dos números enteros, por gran- 

 des que fueran, cuya relación represente exac- 

 tamente el número 7:. Por consiguiente, una 

 rectificación como la que acabamos de indi- 

 car, no satisface el objeto deseado. 



Podría preguntarse aquí, si en vista de que 

 , el número 7: no es igual á la relación de dos 

 números enteros, por grandes que sean, no 

 se sigue inmediatamente que es imposible 

 construir una línea recta exactamente igual 

 en longitud á la circunferencia de un círculo; 

 así se demostraría de una vez la imposibili- 

 dad de resolver el problema. No podemos 

 menos que responder negativamente. Por- 

 que hay en geometría muchos pares de líneas 

 en los cuales puede construirse una, valién- 

 dose de la otra, no obstante el hecho de que 

 no puedan encontrarse dos números enteros 



que representen la relación entre las dos lí- 

 neas. El lado y la diagonal de un cuadrado 

 por ejemplo, se hallan en este caso. Es ver- 

 dad que la relación entre estas magnitudes 

 es próximamente de 5 á 7; pero esta propor 

 ción no es exacta, y de hecho no hay dos 

 números que representen esa relación con 

 exactitud. Sin embargo, cualquiera de estas 

 dos líneas puede construirse fácilmente con 

 ayuda de la otra por el solo empleo de la 

 regla y el compás. También podría ser éste 

 el caso de la rectificación del círculo; y por 

 consiguiente, de la imposibilidad de represen- 

 tar la relación por dos números enteros, no 

 es inferible la imposibilidad de la rectifica- 

 ción de la circunferencia. 



La cuadratura del círculo descansa y se 

 desprende del problema de la rectificación. 

 Está basada en la verdad antes mencionada 

 de que el círculo es igual en área á un trián- 

 gulo rectángulo, en el cual un cateto es igual 

 al radio del círculo y el otro á la circunfe- 

 rencia. Supongamos, según ésto, que la cir- . 

 cunferencia del círculo fuese rectificada; po- • 

 dríamos entonces construir el triángulo ya 

 sin dificultad, Pero todo triángulo, como se 

 sabe en planimetría elemental, puede, con 

 ayuda de la regla y del compás, convertirse 

 en un cuadrado equivalente. Así pues, su- 

 puesto que la rectificación de la circunferen- 

 cia de un círculo fuese llevada á cabo con éxi- 

 to, podríamos construir un cuadrado que fue- 

 se, en área, exactamente igual á un círculo 

 dado. 



La dependencia íntima que existe entre los 

 tres problemas: cálculo de la magnitud de t;, 

 cuadratura del círculo y su rectificación, nos 

 obliga, al hablar de la historia de la cuadra- 

 tura, á detenernos un momento sobre las in- 

 vestigaciones que se han hecho respecto al 

 valor de u, lo mismo que sobre los esfuerzos 

 para rectificar el círculo, como de igual im- 

 portancia, y considerarlos luego en sus rela- 

 ciones mutuas. 



Hemos usado repetidas veces en el curso 

 de esta discusión las palabras co«s- „ „, 



i ContUcíones de la 



triiir con regla y compás. Es pues resolución geo. 



I . ] métrica. 



necesario explicar lo que quere- 

 mos significar al hacer la especificación de 

 estos dos instrumentos. Cuando en geome- 

 tría se exigen ciertas condiciones dadas para 



