COSMOS 



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decimales de Ludolf, y por la otra, no sou 

 propias para hacer avanzar la cuestión de 

 posibilidad de la exacta cuadratura con re- 

 gla y compás. 



Sin embargo, Newtox y Leibmtz, hicie- 

 luvcstigacioiiM i'on adelantar considerablemente 

 ''°mtTwÍ!1m'"° ^' ^''iio numérico del problema por 

 y bboosokeii. j^g nucvos uiétodos matemáticos 

 perfeccionados, llamados comúnmente cál- 

 culos diferencial é integral. Y á mediados 

 del siglo XVII, poco tiempo antes de que 

 Newton y Leibnitz representasen á ;: por 

 series de potencias, los matemáticos ingle- 

 ses Wallis y Lord BROuxcKEn, en cierto mo- 

 do predecesores de Newtox, lograron repre- 

 sentar á ■;; valiéndose de una serie infinita de 

 números combinados por medio de las pri- 

 meras cuatro reglas de la aritmética. Así se 

 inició un nuevo método de cálculo. Wallis 

 descubrió que la cuarta parte de :: se repre- 

 senta con más exactitud por el producto re- 

 gular de 



Í-X|-Xi-X^-XfX?-X|-X etc., 



si se continúa la multiplicación lo más lejos 

 que se pueda; y que el resultado es menor que 

 el verdadero si nos detenemos en un que- 

 brado propio, y mayor si en un quebrado im- 

 propio. Lord BnoüxcKEK, por otra parte, re- 

 presenta el valor en cuestión por una frac- 

 ción continua en qae todos los denomina- 

 dores son iguales á 2 y los numeradores 

 números cuadrados impares. Wallis, á quien 

 Brouncker había comunicado su hermoso re- 

 sultado sin prueba alguna, lo demostró en 

 su Aritmélica de los infinitos. 



La determinación de r,, por medio de es- 

 tos resultados, podía haberse llevado más 

 lejos que como la llevaron Ll'dolf v otros; 

 pero, por supuesto, por un camino más la- 

 borioso. Sin embargo, las series de poten- 

 cias obtenidas con ayuda del cálculo diferen- 

 cial de Newton y Leibxitz, suministraron un 

 medio de hacer el cómputo de r. con cien- 

 tos de cifras decimales. 



Gregoky, Newton, y después Leibnitz, I 

 encontraron C[ue la cuarta parte 



si concebimos á esta serie, llamada leibnit- 

 ziana, continuada hasta el infinito. Induda- 

 blemente C|ue esta serie es maravillosamente 

 sencilla; pero no es adecuada á la determi- 

 nación de •;:, porque se necesita tomar en 

 cuenta muchas fracciones para obtener pocas 

 cifras decimales. No obstante, la fórmula 

 original, de donde la serie se deriva, da otras 

 fórmulas que se adaptan excelentemente á la 

 actual determinación. Esta fórmula es la se- 

 rie general: 



3 ' 5 7 ' 



en que a es la longitud de un arco perte- 

 neciente á un ángulo central de un círculo, 

 cuyo radio es i, v en que a es la tangente 

 á este ángulo. De ésta se deriva la siguiente: 



j=ía^b- 



^a^^h^^c'+. 



en que u, b, c . . . . son tangentes de ángu- 

 los cuya suma es de 45". Determinando, se- 

 gún ésto, los valores de a, h, c . . . , que son 

 iguales á pequeñas y láciles fracciones, y 

 que llenan la condición mencionada, obte- 

 nemos series de potencias que son aplicables 

 á la determinación de ■;:. El primero que 

 añadió por medio de estas series descritas, 

 nuevas cifras decimales á las antiguas 3.5, 

 fué el aritmético inglés Abbaham Sharp, quien 

 siguiendo las instrucciones de Halley, de- 

 terminó en 1700 el valor de •;: con 72 cifras ' 

 decimales. ' Poco después, !Machix, prolesor 

 de Astronomía en Londres, obtuvo 100 ci- 

 fras decimales poniendo en las series da- 

 das arriba, 



í " 23!)" 



lo que equivale á emplear la siguiente serie: 



::^, (í L I _J L_L ^ 



4 ^A5 3.53 "^ 5.5"' 7.5' "* / 



ié 



1 



239 3.239 



3- + 



1 



5.2395 



.....) 



otros cálculus. 



de 7: era igual exactamente á 



5 7 I 9 u I 13 



El año de 1819, Lagxy, de París, fué más 

 lejos que Machín, obteniendo de Determiuadou 

 dos modos diferentes 127 decima- ^''^'""^'•"'- 



cnas cifras deci- 



les de 7:; Vega, obtuvo después, '°»''»- 



