COSMOS 



■^ pueden representarse exactamente por un 

 quebrado, cuvo numerador y denominador 

 sean números enteros, por grandes que fue- 

 ran. La prueba de Lambert demostró, indu- 

 dablemente, que la rectificación y la cuadra- 

 tura del círculo podían no ser realizables 

 del modo particular según el cual se demos- 

 tró su imposibilidad, pero no se excluyó to- 

 davía la posibilidad de que el problema fuese 

 soluble de otro modo más complicado, y sin 

 exigir para eso más medios que la regla y 

 el compás. 



Procediendo con lentitud, pero con segu- 

 coudicioues (le la i'idad, se trató en seguida de des- 

 . dem„,tmd(i„. f.^^Y,^,■^^. i.,g propiedades distintivas 

 y esenciales que separan á los problemas so- 

 lubles con regla y compás, de los problemas 

 cuya construcción elemental es imposible, 

 esto es, por el solo empleo de los postula- 

 dos. La menor reflexión bastó para ver que 

 un problema de resolución elemental, debe 

 siempre poseer la propiedad do tener las lí 

 neas desconocidas de la figura relativa á él. 

 estrictamente relacionada con las líneas co- 

 nocidas por medio de una ecuación, para la 

 solución de la cual sólo son necesarias ecua- 

 ciones de primero y segundo grado, y que 

 pueden disponerse de tal modo, C[ue las me- 

 didas comunes de las líneas conocidas sean 

 números enteros. De aquí se concluyó, que 

 si la cuadratura del círculo y por consiguien- 

 te su rectificación tuviesen resolución ele- 

 mental, el número r., que representa la re- 

 lación entre la circunferencia desconocida y 

 el diámetro conocido, debe ser raíz de cier- 

 ta ecuación, de un altísimo grado quizá; pe- 

 ro en que todos los números fuesen núme- 

 ros enteros; esto es, tendría que existir una 

 ecuación, compuesta completamente de nú- 

 meros enteros, que sería correcta si 'su in- 

 cógnita resultase igual á 7;. 



Desde el principio de este siglo, por con- 

 Éxitoanai jci secucucia, los esfuerzos de un eran 



Profesor ^ , *^ _ ^ 



Li.vBMiAss. número de matemáticos se diri- 

 gieron á probar que el valor do - no es al- 

 gebraico, esto es, que no puede ser raíz de 

 ninguna ecuación que tenga por coeficientes 

 números enteros. Poro las matemáticas te- 

 nían que avanzar machísimo para <[uo se lle- 

 garan á tener los medios de dar esta demos- 

 tración. Después de que el Profosín- líuiiMirE, 



académico francés, hubo prestado interesan- 

 tes bases preparativas en su tratado Siii' la 

 foncdon Exponentielle, publicado en el vo- 

 lumen 77° de los Comptes Rendits, el Profe- 

 sor LiNDEMAKN, eutonccs de Freiburg y aho- 

 ra de Konigsberg, logró por fin, en Junio 

 de 1882, demostrar rigurosamente que el 

 número r, no es algebraico ', proporcionan- 

 do así la primera prueba de que los proble- 

 mas de la rectificación y de la cuadratura 

 del círculo, por medio solamente de instru- 

 mentos algebraicos, como regla y compás, 

 son irresolubles. La prueba de Lindemann 

 apareció sucesivamente en los Informes de 

 la Academia de Berlín (Junio 1882), en los 

 Comptes Rendiis de la Academia Francesa 

 (Vol. 115, págs. 72 á 74), y en los Mathe- 

 matischen Annalcn (Vol. 20, págs. 213 á 

 225). 



1. Pai'a bcneplácilo de uueslros Icciores iiiateniáli- 

 cos, íadicaremos aquí los punios más iraportanles de 

 la demostracióu do Lindemann. M. HERiiiTEpara do- 

 moslrar el carácter trascedenlal de 



^=i + r + ¿- + ^3 + ^ + ---- 



desarrolló relaciones enlrc ciertas integrales dc(i- 

 nidas (Comptes Reiidiis de la Academia de París, 

 Vol. 77, 1873). Pai-ticndo de las relaciones así esta- 

 blecidas, el Profesor Lindemann demostró primero 

 la siguiente propoposición: Si los coeficientes de 

 una ecuación de n grado son todos números enteros 

 reales ó complexos, y las raices « de esta ecuación 

 C|, Zn ■ ■ ■ • , 'n difieren de cero, y entre sí, es im- 

 posible para 



e -j-e -\-e .... 1 e 



on números enteros 

 a m - 



reales ó complexos. Se demuestra después que t 

 bien entre las funciones 



+ "' 



+ 



en qup ;■ denota un número entero, ninguna ecuación 

 lineal puede existir con coeficientes racionales dife- 

 rentes de cero. En fin, resulta el hermoso teorema: 

 Si :; es la raíz de una ecuación algebraica irreduci- 

 ble, cuyos coeficientes son números enteros reales 

 ó complexos, entonces e" no puede ser igual á un 

 número racional. Ahora en realidad g'^S — 1 es 

 igual á un número racional, á sabor, — 1. Por consi- 

 guiente, '^V — 1, y ~ mismo, no pueden sor raíz de 

 una ecuación de n grados que tenga números enteros 

 por coeficientes, y on consecuencia de ninguna ecua- 

 ción que tenga coeficientes racionales. Sin embargo, 

 la propiedad mencionada en último lugar, la tendría 

 -, si la cuadratura del círculo, con regla y compás» 

 fuera posible. 



