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feks und umgekehrt die FJächenmitielpunkte des Würfels die 

 Eckpunkte eines Oktaeders bilden. Analog bilden die Flächen- 

 miltelpunkte eines Dodekaeders die Eckpunkte eines Ikosaeders, 

 und umgekehrt wieder die Flächenmittelpnnkte eines Ikosae- 

 ders die Eckpunkte eines Dodekaeders. 



Man nehme z. B. in der Mittellinie des für das Oktaeder 

 gefertigten Kryslalloskopes einen leuchtenden Punkt an. Als- 

 dann kann man ihn betrachten als den Mittelpunkt einer durch 

 ihn gedachten Oktaeder-Fläche. Man wird demnach mit dem 

 leuchtenden Pankt so viele Punkte erblicken, als das Oktaeder 

 Seitenflächen hat, also acht. Alle diese liegen auf einer Ku- 

 gel, deren Radius gleich der Entfernung des leuchtenden 

 Punktes von der Spitze der Pyramide ist. Sie sind ferner 

 gleich weit von einander entfernt, also schiiessen ihre un- 

 mittelbaren Verbindungslinien einen Würfel ein. Damit derselbe 

 dargestellt werde ist es nöthig, dass man den leuchtenden 

 Punkt mit seinen drei ersten Spiegelbildern duich sichtbare 

 Linien z. B. Drähte verbindet; dies geschieht aber indem 

 man von dem leuchtenden-^Punkte auf die spiegelnden Flächen 

 Lothe fällt, und diese durch Draht darstellt. 



Da im vorliegenden Beispiel schon gezeigt ist, dass be- 

 sagte Drähte mit ihren Spiegelbildern die Kanten eines Wür- 

 fels bilden, so müssen sie selbst eine Ecke desselben dar- 

 stellen. 



Analoges gilt von den übrigen Körpern. Wenn man 

 z. B. durch 5 in einen Punkt laufende gleich lange Drähte 

 die Ecke eines Ikosaeders bildet, und diesen spinnenförmigen 

 Körper so in das Krystalloskop für das Dodekaeder — den 

 Polarkörper des Ikosaeder — hineinstellt, dass die Spitze in 

 der Mitte, die Drähte senkrecht zu den spiegelnden Flächen 

 .stehen, so wird man die Kanten eines Ikosaeders erblicken. 

 , .. Somit kann man durch das Krystalloskop auf doppelte 

 Weise die regelmässigen Körper darstellen, entweder als von 

 Flächen oder von Kanten begrenzte Gebilde. Im letzten 

 Falle, welcher den ganzen Körper in voller Durchsichtigkeit 

 erscheinen lässt, stellt das Krystalloskop immer den betreffenden 

 polaren Körper des durch die hineingelegte Fläche gespiegel- 

 ten dar. Nur das Krystalloskop für das Tetraeder liefert in bei- 

 den Fällen das Tetraeder, weil dieser Körper sich selbst polar ist. 



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