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double solution du problème avait conduit. C'est une solution 

 nouvelle de la même question qu'a trouvée M. Catalan ; elle est 

 remarquable parle point de vue spécial où l'auteur s'est placé, et 

 qui l'a obligé de résoudre un problème qui pouvait paraître d'un 

 accès plus difficile que celui d'Euler. M. Catalan est obligé d'em- 

 ployer une équation aux différences finies, partielles, qui, intégrée 

 sous la condition restrictive que ses variables soient des nombres 

 entiers, lui donne la solution du problème que voici : trouver le 

 nombre des décompositions triangulaires d'un polygone dans les- 

 quelles n'entre pas un triangle formé de deux des côtés de la figure, 

 et d'une seule de ses diagonales , ou bien desquelles on exclut deux 

 triangles contigus l'un à l'autre, et formés encore par des côtés 

 du polygone ou par une diagonale pour chacun de ces deux trian- 

 gles exclus; on peut également exclure des décompositions celles 

 où entreraient trois triangles formés ainsi que nous venons de le 

 dire, ou quatre triangles, etc. 



« De son problème, distinct de celui d'Euler ainsi que nous l'a- 

 vons déjà dit, M. Catalan déduit une nouvelle solution de ce dernier 

 problème : elle n'est pas seulement différente de celles d'Euler et de 

 Ségner par la méthode; elle l'est surtout par la formule qui don- 

 nerait les dénombrements des triangulations des figures rectilignes. 

 Cette formule eût semblé ajouter un nouveau degré de difficulté à 

 la question algébrique proposée par MM. Terquem et Liouville il 

 y a quelques mois, et qui consistait à montrer comment une des 

 équations se trouve la conséquence nécessaire de l'autre formule. 

 Mais dans un travail entrepris par l'un de vos commissaires, et 

 dont on vous a entretenu au mois de novembre dernier , et dans 

 la vue de résoudre cette difficulté analytique, on a été conduit par 

 de simples transformations à une formule semblable à celle de 

 M. Catalan et que l'on y ramène immédiatement. Cette circons- 

 tance ne peut en rien diminuer le mérite des recherches dont nous 

 vous rendons compte, car M. Catalan est parvenu à ses résultats 

 sans avoir aucune connaissance des nôtres , peut-être même avant 

 nous , et par des moyens qui sont entièrement à lui ; et d'ailleurs 

 le problème qu'il s'est proposé a véritablement plus d'étendue que 

 celui d'Euler auquel seul s'applique la formule à laquelle nous fai- 

 sons allusion. 



« La seconde partie de la note de M. Catalan a pour objet des 



