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§ I. Problème préliminaire : Déterminer, en chaque point d'une 

 courbe donnée, sa parabole osculatrice et son ellipse ou hxjper- 

 bole osculatrice . 



Ces déterminations se réduisent à des constructions de la plus 

 grande simplicité, à i'aide d'une propriété nouvelle des sections co- 

 niques, qui consiste en ce que si on construit, dans une conique 

 quelconque, la normale de la première développée, c'est-à-dire si 

 on mène par le centre de courbure une parallèle à la tangente, la 

 partie de cette normale comprise entre le centre de courbure et le 

 diamètre passant au point de contact est toujours égale au tiers du 

 rayon de courbure delà première développée. Autrement, soient 

 p le rayon de courbure d'une conique, p' le rayon de courbure de 

 sa première développée, § l'angle entre 1 1 normale ol le diamètre 

 mené par le point de contact, on a la relation 

 p' =Z p tangZ. 



Soient donc désormais p et p' les rayons de courbure d'une 

 courbe et de sa première développée relativement au point quel- 

 conque P, on prolongera la normale de la développée au-delà du 

 centre de courbure O d'une quantité O2 - | p' et la ligne P^, pro- 

 longée indéfiniment de part et d'autre du point P, sera le lieu des 

 centres de toutes les coniques qui ont avec la proposée un contact 

 du troisième ordre. 



D'après cela, et en faisant usage de la relation également com- 

 mune à toutes les coniques 



/ COS a 



dans laquelle p est toujours le rayon de courbure, N la partie de la 

 normale comprise entre le périmètre et l'axe des foyers, et « l'an- 

 gle du rayon vecteur avec la normale; on construira sans difficulté 

 toute section conique qui, touchant la proposée en P par un con- 

 tact du troisième ordre, lui présenterait en ce point ses deux rayons 

 vecteurs sous l'angle donné 2 a. Le cas particulier de a = S sera 

 celui de la parabole osculatrice. 



L'enveloppe des axes de toutes les coniques qui, ayant leurs cen- 

 tres sur la ligne P^, touchent ia proposée en P par un contact du 

 troisième ordre , est une parabole ayant pour directrice cette 

 Hiême ligne Vz, et pour foyer la projection du centre de courbure 



