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d'ordre déterminé dépend de l'angle qui caractérise la spirale lo- 

 garithmique. Si la spirale tourne d'un nombre entier de circonfé- 

 rences, elle sera à elle-même sa caustique. Cette condition dépend 

 d'une équation transcendante analogue à celle qui exprime qu'une 

 spirale logarithmique esta elle-même sa développée. C'est une re- 

 lation entre l'angle de la spirale et le nombre de tours que cette 

 courbe a dû faire sur elle-même pour produire sa caustique, nom- 

 bre qui est indéterminé dans la question ; de sorte qu'il y a, non 

 pas une seule spirale, mais une classe entière de spirales loga- 

 rithmiques, qui sont à elles-mêmes leurs caustiques d'un ordre 

 déterminé. 



« Pour étendre ces propriétés aux surfaces, il faut rappeler pre- 

 mièrement que si un centre émet des rayons sur une surface, un 

 rayon réfléchi ou réfracté sera rencontré seulement par deux des 

 rayons infiniment voisins; ce qui donne lieu par chaque tel rayon 

 à deux foyers seulement, et par suite, pour l'ensemble de tous les 

 rayons réfléchis ou réfractés, à deux nappes focales. Pour les 

 rayons qui auront subi deux réflexions ou réfractions , il y aura 

 deux nouvelles nappes focales, et ainsi de suite à l'infini. 



« Maintenant si on fait pivoter sur le pôle, comme point fixe, le 

 plan d'une des spirales qui sont à elles-mêmes leurs caustiques 

 d'un ordre déterminé , ce plan roulant d'ailleurs sur une surface 

 quelconque; cette spirale engendrera une surface qui sera à elle- 

 même, par rapport au point fixe considéré comme centre rayonnant, 

 une des deux nappes focales de ce même ordre. L'autre nappe focale 

 sera le cône décrit par le plan même de la spirale dans son mou- 

 vement. 



«'Plus généralement, si on a construit, par rapport à un point 

 quelconque de son plan, toutes les caustiques successives (par ré- 

 flexion ou réfraction) d'une courbe plane, la surface, engendrée 

 par cette courbe, pivotant sur le point rayonnant, aura, pour l'une 

 de ces deux nappes focales d'un ordre quelconque, la surface en- 

 gendrée par la caustique de ce même ordre; et l'autre nappe fo- 

 cale de ce même ordre, quel qu'il soit, sera toujours le cône qui 

 enveloppe toutes les positions du plan mobile. Ce cône est à la fois, 

 par rapport à la surface engendrée, un lieu de rencontre des uor- 

 males infiniment voisines, et aussi un lieu de rencontre de tous les 



