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Lorsque j) ou q ne sont pas des nombres positifs, la transformation 

 a également lieu, mais le résultat ne fait que convertir l'inté- 

 gration proposée en une autre plus simple. Il indique l'usage de 

 cette intégrale indéfinie pour l'évaluation d'une intégrale définie 

 qui se présente dans plusieurs questions relatives à la théorie de 

 la chaleur. 



Il annonce à la Société qu'il est parvenu à former des suites con- 

 vergentes dans toute leur étendue, et propres à fournir l'intégrale 



indéfinie J^e ^^ dt, lorsque t est supérieur à l'unité. Jusqu'à 

 présent on ne possédait, pour cet objet, qu'une série procédant 

 selon des puissances négatives de t, mais qui finissait toujours par 

 devenir divergente ; Laplace l'avait convertie en fraction con- 

 tinue. La méthode qui conduit à ce résultat repose sur l'emploi des 

 intégrales définies eulériennes, et s'applique à des fonctions plus 

 compliquées. Les séries qu'elle fournit renferment la variable t 

 dans des dénominateurs qui croissent à la manière des factorielles 



X {x -\- î) (x -\~ 2) (x -\- Z) , c'est-à-dire beaucoup plus ra: 



pidement que des puissances. 



— M. Catalan communique la note suivante sur un cas parti- 

 culier de la surface dont l'aire est un minimum. 



Si une hélice est tracée sur un cylindre droit à base circulaire, 

 et si une droite, constamment parallèle au plan de cette base, se 

 meut en s'appuyant sur l'hélice et sur l'axe du cylindre, elle eni 

 gendre Vhéliçoïde gauche ordinaire. On sait que, pour un point 

 quelconque de cette surface, les deux rayons de courbure prin- 

 cipaux §out égaux et de signes contraires : on conclut immédia- 

 tement de là que l'aire de cet héliçoïde est un minimum entre 

 toutes celles qui seraient terminées à une courbe quelconque tracée 

 sur la surface de l'héliçoïde. 



Cherchons, dit-il, s'il existe d'autres héliçoïdes gauches jouissant 

 des mêmes propriétés. Soit y — f {pc) l'équation de la surface 

 d'un cylindre droit quelconque, dont les géuératrices sont paral- 

 lèles à l'axe des z. En prenant cet axe pour directrice rectiligoe, 

 et le plan des xy pour plan directeur, on trouve que l'héliçoïde 

 dont la directrice curviligne est une hélice tracée sur le cylindre 

 dont il s'agit peut être représenté par l'ensemble des deux équa- 

 tions : 



