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uy :^xf («), z^k{ ""dQ V^l + (/"e)2, f'e représentant la déri- 



vée de f {d), et k° étant une constante. 



Si l'on tire de ces deux équations les valeurs des dérivées p, q, 

 r, s, t, et qu'on substitue dans l'équation ordinaire de la surface 

 minimum, on trouve que l'équation résultante se décompose en 



ff'+^=o,fiu^-\-f')+2{i~i-n)if-un=o. 



Remplaçant a par x, et f (a.) par y, ces deux dernières équations 

 deviennent 



î/^ + ^-0 (1). 



dx^ 



(..+,.) + 2 (,+ g) (,_.^)=0 (,, 



L'intégrale de l'équation (1) est y^ -\- x'^ = c^, ce qui donne l'hé- 

 liçoïde ordinaire. Quant à l'équation (2), si l'on pose y= « sin m, 

 x= u cos M, elle devient 



En déplaçant l'axe polaire et prenant une unité convenable, on 

 peut écrire l'intégrale de cette équation du second ordre, sous la 

 forme u — 2 cos w, ou yl^ -\- x^ = 2x. 



Ainsi l'héliçoïde gauche ayant pour directrice curviligne une 

 hélice tracée sur un cylindre circulaire, et pour seconde direc- 

 trice une génératrice de ce cylindre, est une surface minimum. 



On peut démontrer facilement que cet héliçoïde ne diffère qu'en 

 apparence de l'héliçoïde ordinaire. Il n'y a donc que cette der- 

 nière surface qui soit une surface hélicoïdale minimum. 



Prenons maintenant l'équation générale des conoïdes : elle est 



px-{-qy = (4). 



[uation avec celle de la sui 



py + qx + s (x^- -f 2/2) = (5) ; 



En combinant cette équation avec celle de la surface minimum; 

 on trouve d'abord 



