elle est présentée sous une forme trop'compliquée et tellement 

 vague qu'elle n'a pas été généralement admise. Les recherches 

 de Kuftini sont encore bien plus vagues et paraissent tout-à- 

 fait insuffisantes. En m'aidant des travaux de ces deux géomè- 

 tres, je suis arrivé, dit M. Wantzel , à une démonstration qui 

 semble assez simple pour établir la proposition d'une manière 

 incontestable. 



Il faut d'abord reconnaître trois faces bien distinctes de la 

 question : soit qu'il s'agisse de résoudre par radicaux une 

 question générale, quels que soient les coefficients , soit qu'il 

 faille traiter de la même manière une équation déterminée, 

 soit enfin qu'on veuille trouver les racines d'une équation nu- 

 mérique par des extractions de racines effectuées sur des 

 nombres. Quant au dernier cas , nous avons démontré dans 

 une communication antérieure qu'on ne pouvait même pas ob- 

 îenir les racines réelles d'une équation du troisième degré par 

 des calculs de ce genre et notre travail sur ce sujet a été inséré 

 dans les Nouvelles annales de mathématiques. Le second cas 

 n'a été considéré que par Evariste Gallois dans un mémoire 

 inédit que M. Liou ville doit publier incessamment. Abel et 

 Buffini se sont occupés seulement du premier cas ; c'est aussi le 

 seul que nous voulions traiter actuellement. Résoudre une 

 équation de celte manière générale, c'est exprimer une des 

 racines par un nombre limité d'opérations effectuées sur des 

 fonctions symétritjues de toutes les racines. Il suffît donc de 

 démontrer que l'identification est impossible quand le nombre 

 des racines est supérieur à quatre. 



Pour cela, on fera voir d'abord, comme Abel, que si une 

 racine est exprimable par des radicaux, chacun d'eux est une 

 fonction rationnelle des racines. Soit alors u le premier radical 

 qui se présente dans l'ordre des opérations, on aura : m"zzP ; 



il — / [0^1 , 57 g ... j ^ r r yX 1 , Xg,,.j, 



Si l'on effectue la même permutation des lettres œ^, x^,, dans 

 / et F , on aura toujours /"rr F , puisque iCi , x^ ... sont quel- 

 conques. Mais comme P est invariable, on devra obtenir des 

 racines delà même équation, en sorte que : f [x,., x^, x^...):zz 



a f{x^, X^, X3...),d'0Ù f{x^, X.^, X^...) =Za f {x^, X^, X^ ...), 



€l par suite a"" rr 1 . Le premier radical sera donc du 2^ degré 



