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rai, empêche la courbe d'offrir une représentation parfaite de 

 la première transcendante elliptique. 



Enfin , dans ces derniers temps, j'ai démontré que l'arc de 

 la cassinoïde, dont la lemniscate n'est qu'un cas particulier, se 

 présente sous la forme d'une fonction abélienne décomposable 

 en une somme ou une diiference de deux fonctions ellipti- 

 ques complémentaires de première espèce , et même que cet arc 

 est exprimable àl'aide d'une simple fonction elliptique, si l'une 

 de ses extrémités est convenablement choisie , l'autre demeu- 

 rant arbitraire ; mais la question était loin d'être résolue, la 

 lemniscate restait toujours la seule courbe algébrique connue, 

 dont les coordonnées satisfissent à une équation de la forme 



Depuis la publication de mes premières recherches, deux 

 {jéomètresétrangers,MM. William Roberts, de Dublin, etTor- 

 tolini, de Rome, se sont occupés à diverses reprises de ques- 

 tions analogues ; la lecture de leurs intéressants mémoires m'a 

 conduit à examiner de nouveau le problème de la représenta- 

 tion, que j'avais abandonné depuislongtemps, et dont la solution 

 complète, si elle était possible, ne me semblait pouvoir être due 

 qu'au hasard. 



La première idée des recherches nouvelles auxquelles je me 

 suis livré m'a été suggérée par une propriété de la lemniscate 

 à laquelle je n'avais pas d'abord attaché une grande importance, 

 et qui pourtant paraît être la seule susceptible d'une générali- 

 sation favorable. Cette propriété de la lemniscate consiste en 

 ce que ses coordonnées rectangulaires sont exprimables en 

 fonctions rationnelles de l'amplitude de son arc. J'ai été ainsi 

 naturellement conduit à résoudre l'équation indéterminée 



dans laquelle M et P sont des polynômes entiers et rationnels , 

 premiers entre eux, et dont le second ne renferme pas de fac- 

 teurs iinèûires multiples, en ne prenant pour x et ^ que des fonc- 

 tions rationnelles. 

 La solution de cette équationfera connaître, parmi les cour- 



