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et pour la présenter même, si l'on veut, indépendamment de la 

 considération des forces, peut également servir à abréger des 

 démonstrations et des recherches en géométrie pure. 



Par exemple, si l'on veut avoir le volume d'un parallélipipède 

 en fonction des neuf projections orthogonales x,yiZ,x',y\z\ 

 œ",y",z", de ses trois arêtes adjacentes ?',r',r", on posera r égale 

 àlasomme géométrique de ses trois projections a?,T/,z,et deux équa- 

 tions semblables pour r' et r". Multipliant ensemble ces trois 

 équations géométriques membre à membre et terme à terme, 

 on a une autre équation (séance de l'Académie , 45 septembre) 

 qui exprime que le produit géométrique de r^r\r'\ c'est-à-dire 

 le volume du parallélipipède donné, est égal à la somme al- 

 gébrique des volumes de vingt-sept autres parallélipipèdes 

 ayant des arêtes égales et parallèles à trois des neuf projections: 

 mais vingt-un d'entre eux ont un volume zéro, ce sont ceux 

 qui sont formés avec'deux ou trois projections de même nom, 

 et il n'est pas besoin de les écrire. Les six restants sont rec- 

 tangles : en donnant le signe -j- à ceux dunt la seconde arête 

 est vue à gauche et la troisième à droite quand on s'adosse à 

 la première arête, et le signe — aux autres, on a, pour le vo- 

 lume cherché, le sextinôme connu xg'%" — xz'xf-\- etc. Les 

 autres démonstrations données jusqu'à présent de ce théorème 

 sont moins simples et bien moins directes. 



Le principe de cette analyse, consistant en ce qu'on peut 

 multiplier ensemble un nombre quelconque d'équations géomé- 

 triques linéaires, revient, quand on se borne à deux et à trois 

 équations, à ces deux théorèmes de géométrie, dont le premier 

 est une généralisation de celui de Varignon, dit des moments : 



1» Si l'on projette sur un même plan tous les parallélo- 

 grammes susceptibles d'être formés sur des lignes égales et 

 parallèles à un côté d'un polygone donné et à un côté d'un se- 

 cond polygone, ces lignes étant tirées par un même point dans 

 les sens du parcours continu des périmètres de ces polygones 

 plans ou non plans, la somme des aires pour lesquelles on voit 

 la première ligne à gauche et la deuxième à droite en se plia- 

 çant au sommet commun est égale à la somme des aires pour 

 lesquelles on voit la première ligne à droite et la deuxième à 

 gauche. 



