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par radicaux, ce qui a été démontré impossible. H y a excep- 

 tion, il est vrai, pour les fonctions qui n'ont que deux valeurs, 

 mais il est clair que des fonctions de ce genre ne pourraient 

 conduire à la racine d'une équation du 5* déféré. D'ailleurs on 

 peut démontrer facilement qu'une transcendante ne saurait sa- 

 tisfaire à une opération algébrique,Iors même que les coefficients 

 dépendent d'une seule variable. Quoique ce théorème ait déjà 

 été établi par M. Liouville, dans son mémoire sur la classifica- 

 tion des transcendantes, au moyen du calcul différentiel, il 

 n'est pas sans intérêt d'y arriver par des considérations pure- 

 ment algébriques. Pour se borner à l'exponentielle , qui ren- 

 ferme toutes les autres transcendantes ordinaires, il suffit d'em- 

 ployer la propriété e^+'^zzGe'^. En effet, si d'abord e^ était 



égale à une fraction rationnelle '-7—:, 

 •^' F {xf 



f [x-X-c) ^ f ix) ' . . .,1 



^n aurait : -r^ — \ — (— G-Jr-— ce qui est impossible, 



parce qu'il devrait y avoir identité entre les termes de ces frac- 

 tions. Soit ensuite f {y, x) z=: et y i=z e"" ; l'équation 

 f{Cy, x-{-c) zz. devrait avoir une racine commune avec 

 /(y, ^)zrO, et par conséquent les admettre toutes, puis- 

 que la proposée est naturellement supposée irréductible. En 

 identifiant ces deux équations, on arrive à des relations de la 

 forme F {x-\-c) =zC" F (.x), qui sont inadmissibles comme pré- 

 cédemment. 



Si e^ n'est pas racine d'une équation dont les coefficients sont 

 fonctions rationnelles de x, il en sera de même de e", u dési- 

 gnant la racine d'une équation de même espèce ; car des équa- 

 tions f (e", x) =zO,F {u, x) rzO, on tirerait 7 (e% u) = 0. 

 On voit également que si y =: log x et F (//, x) izz 0, on en tire 

 X m e^^ ce qui est impossible. Quant aux sinus et cosinus, ils se 

 trouvent exclus pareillement, car la propriété fondamentale 

 des exponentielles appartient à y =z cos x-f- j/— i sin x, et 



de plus ces ic et sin'icsont respectivement égaux à y -{-~ ei à 



c-o^- 



y 



