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;o Si l'équalion '^yZZoo donne y=zS, p éianl uneconsuinte, 

 il pourra se l'aire (]ue yzzp soit une soluiion sisigulière. Cela 

 arrivera siles courbes représentées par F {x, y, c)mOoiu pour 

 tangente commune la parallèle à l'axe de x représentée par 



y—P- 



Séance du 28 février 1846. 



Mathématiques. — M. Serret fait à !a Société ia communi- 

 cation suivante : 



c 11 existe deux propriétés remarquables de la lemniscate 

 qui n'avaient pas jusqu'ici fsxé l'attention des i^éomèues, et qui 

 convenablement généralisées fournissent un mode uniforme de 

 génération d'une extrême élégance pour toutes les lignes que 

 j'ai désignées sous le nom de courbes eUiptiques'.de prcw'ière 

 classe. Voici quelles sont ces propriétés de la lemniscate : 



«l^Soit OMP un triangle variable dont le somuK.i Oest fixe 

 et dont les côtés OM et MP sont constamment égaux l'un à 1 , 

 l'autre à [/2 ; si l'on fait varier le triangle de telle manière que 

 l'angle du rayon OM avec une direction fixe soit constamment 

 égal à la différence MOP — 20MP, le point M décrira la lem- 

 niscate. 



» 2" Soit OMP un triangle variable dont le sommet est 

 fixe et les deux côtés OM et MP égaux comn)e précédemment 

 l'un à I, l'autre à |/2 , le point M engendrera la lemniscate, 

 si le déplacement infiniment petit de ce point a lieu suivant le 

 rayon MG du cercle circonscrit au triangle OMP. 



» Soit maintenant n un nombre positif entier ou fractionnaire 

 ou incommensurable , et construisons le triangle OMP de telle 

 rnonière que MPz=|/n+ï ; et 0Pn^/7i; si le point restant 

 fixe on fait varier le triangle de telle manière que l'angle de 

 OM avec une droite fixe soit constamment égal à la différence 

 n- MOP — (?i-|-l)OMP, le point M engendrera les courbes ellip- 

 li(jues de première classe dont l'arc sera représt;nié par l'in- 

 tégrale VnJ yizrlfsïi^^' ^" ^ désigne le nombre \/^^ 



et a l'angle MOP. 



» Celte propriété peut encor-e se traduire de la manière sui- 

 vante : soit OMP le trianjjle construit comme précédemment et 



