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ds R 



] 



» Concevous tracée la pat aboie osculatrice du troisième ordre 

 au même point M de la courbe donnée, et soit di l'arc infini- 

 ment petit décrit par son foyer lorsque le point d'osculation dé- 

 crit l'arc ds, on a aussi la formule suivante : 

 d§ 



dS 1 / 2rf2\ 



-=-( i^ — ). 



ds rV ~rfs/ 



» Désignons par r le rayon vecteur de la parabole osculatrice, 

 et par r», r^, les deux rayons vecteurs de la conique osculatrice 

 du quatrième ordre , la formule précédente devient 



dS \ / 4r''\ 



---{ iH~ Y 



rfs R \ T^r^/ 



» Lorsque la parabole osculatrice a elle-même avec la courbe 

 proposée un contact du quatrième ordre , auquel cas celle-ci a 



dB 1 

 un élément parabolique en M , on trouve simplement — rz — , 



ds R 

 4,.» 



et par suite la quantité exprime de combien une courbe 



Rr^r, 

 quelconque s'écarte de la forme parabolique dans le passage 

 d'un point au point suivant. 



» Donc généralement : Une courbe plane quelconque s'écarte, 

 dans le passage d'un point au point infiniment voisin, d'autant 

 plus de sa parabole osculatrice que quatre fois le carré du rayon 

 vecteur de cette même parabole divisé par le produit du rayon 

 de courbure et des deux rayons vecteurs de la conique oscula- 

 trice du quatrième ordre est une quantité plus grande. 



» 3. Le long d'un arc de courbe en chaque point duquel la co- 

 nique osculatrice du quatrième ordre est une ellipse, c'est-à-dire 

 tel que l'on a constamment 5y"'* — Sy'Y' <^0, l'angle de dévia- 

 tion S peut croître d'abord pour diminuer ensuite et réciproque- 

 ment. Les points pour lesquels cet angle devient maximum ou 

 minimum forment une nouvelle espèce de points singuliers que 

 Extrait de l'Institut, !'« section, I8l\6. 19 



