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cherches sur les diamètres rectih'gnes des courbes quelconques. 



Euler s'est occupé de cette question dans un mémoire qui fait 

 partie de la collection de Berlin pour 1742 ; mais il se borne à 

 chercher la condition que doit remplir l'équation d'une coUrbe 

 qui possède deux diamètres rectilignes; et la forme qu'il trouve 

 n'est pas assez simple pour laisser apercevoir la loi de succes- 

 sion des diamètres ni leurs propriétés. Toutefois il démontre 

 cette proposition fondamentale, que, si une courbe a deux dia- 

 mètres qui se coupent, on en peut trouver un troisième passant 

 au point de concours, et par suite un nombre indéfini , si l'on ne 

 retombe pas sûr l'un des précédents. Il reste à connaître la loi 

 de déduction de ces diamètres et la condition de ce retour. 



Supposons un premier diamètre rectiligne,qui- divise une série 

 xie cordes en parties égales,et auquel nous rapporterons les autres. 

 Soient ?u et n les coefficients d'inclinaison d'un se,cond diamètre 

 et de ses cordes ; l'inclinaison m' d'un troisième diamètre déduit 

 des deux premiers et l'inclinaison n' de ses cordes seront liées à 

 m et n par les relations : 



112 M 



n m 

 d'où l'on tire immédiatement : 



A 

 , , m' 4mn n 



m'n'znmn , —-. — ; — rT::= —r:; 



n' (m-l-n)- (i^^)2 



On conçoit que des inclinaisons m" et n" se déduiront de m' et 

 n' de la même manière ; et ainsi de suite. La première relation 

 montre que pour une courbe quelconque le produit des in- 

 ct'niaisons diS diamètres et de leurs cordes sur un autre diamètre 

 est constant comme pour les courbes de second degré. 

 Relativement au rapport des inclinaisons , il se présente deux 



cas bien distincts. Si m et n sont de même signe,—, -77 seront 



positifs et s'approcheront indéfiniment de l'unité, ensorte qije 

 m' et n' auront pour limite commune [/mû. Ainsi , il y aura 

 dans ce cas une,infmU,é^ dç diamètres- rectilignes qui feront des 



