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éboulements successifs et des ravinements ont étendu leur base 
aux dépens de leur hauteur. + | 
ANALYSE ALGÉBRIQUE. — M. Wantzel communique une note 
sur les nombrès incommensurables d’origine algébrique. 
Plusieurs géomèêtres se sont occupés de démontrer l’impossi- 
bilité de résoudre les équations de degré supérieur au 5° par une 
succession de radicaux. Mais ces démonstrations ne sont relatives 
qu'aux équations générales de chaque degré, et ne prouvent plus 
rien Jorsqu’il s’agit d'équations numériques particulières. Dans ce 
cas la résolution par radicaux serait même illusoire si les racines 
à extraire portent sur des quantités imaginaires. 
Prenons pour exemplele cas irréductible dans les équations du 
3° degré. Les racines toutes réelles peuvent s'exprimer par des 
racines cubiques de quantités imaginaires, mais on ne peut pas 
les obtenir numériquement par ces formules. Est-il possible de les 
représenter par des extractions de racines effectuées sur des 
quantités réelles ? telle est la question que M. Wantzel a résolue 
négativement. 
Pour y parvenir, Supposons qu'une. racine d’une équation ér- 
réductible du 3° degré soit exprimable par une fonction de radi- 
caux de n° espèce, en adoptant la classification d’Abel. Oo aura : 
LIN —+ P —+ bp? +... Une pr =, 4, 
où @, b, l représentent des quantités radicales de n—1° espèce, et 
n un nombre premier. Comme l’équation pr= q est irréduc- 
tible (1), si l’on remplace p par chacune des racines de cette 
équation, on aura des racines de l’équation proposée, et les résul- 
tats seront différents ; il faut donc que n ne soit pas supérieur à 3. 
Sin == 3, p s’exprimera rationnellement au moyen des racines 
de la proposée et des racines cubiques de l'unité, en sorte que l’on 
aura p — À + « 1 + «2 æ:, quantité qui ne peut être réelle, 
comme on le suppose, à moins que Æ1 — %2, Ce qui n’est pas pos- 
sible, puisque léquation proposée est irréductible: 
(1) Abel l’a démontré sous le point de vue algébrique; la démonstration 
pour le cas numérique se trouve dans une note que M. Wantzel a insérée dans 
le Journal de l'Ecole Polytechnique, XXV® cahier. 
