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Séance du 11 novembre 1843, 
M. Catalan communique les recherches suivantes sur quel 
ques propriétés de l'hélicoïde à plan directeur . 
Si l’on prend pour axe des z l'axe du cylindre sur ane est 
tracée l'hélice directrice, et si l’on choisit une unité convena- 
ble, l'équation del héliçoïe pourra étre mise sous la forme : 
arc lang É (1) 
Généralement, la détermination de la hore minimum entre 
deux points, sur une surface quelconque , est un problème 
insoluble : pour l'héliçoïde , il se simplifie considérablement. 
En effet, en prenant des coordonnées polaires w eto, et 
posant u — lang. v, On irouve d'abord , pour intégrale pre- 
mière de l'équation différentielle du second ordre qui repré- 
sente la projection de la courbe cherchée , 
dv 
nana 0) 
VW sin EL c 
& étant la constante arbitraire. 
Cette formule ne peut être intégrée sous forme finie que 
dans le cas de c = 0. Elle donne alors, pour la projection de 
la ligne minimum, 
de : (e® — e—) (3) 
Selon que la constante c est positive où négative, l’équa- 
tion (2) représente des courbes fort dilférentes entre elles, que 
l’on peut construire à l'aide des tables elliptiques. 
La courbe minimum représentée par l'équation (5) peut étre 
regardée comme intermédiaire eutre les courbes des deux au- 
tres genres : elle a une liaison remarquable avec les lignes de 
courbure de l'héïiçoïde, lesquelles sont représentées par l'é-' 
quation 
Enfin , si l'on cherche quelle est, sur l’héliçoïde, la ligne de 
Extrait de L'Institut, Aïe section, 1843 15 
