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ÜBEE DAS REGELMÄSSIGE ZWÖLFECK. 



Von Dr. JOSEF KÜBSCHÄK, 



corr. Mitgl. der ungarischen Akademie der Wissenschaft, Professor am kön. ung. 

 Josefs-Polytechnikum zu Budapest. 



Aus: «Mathematikai es Physikai Lapok» (Mathematische und Physikalische 

 Blätter), Band VII, pp. 53—54, 1898. 



Das in den Kreis beschriebene regelmässige Zwölfeck hat 

 den dreifachen Flächeninhalt des über den Radius erhobenen 

 Quadrates. 



Diesen bekannten Satz kann man ohne jegliche Rechnung 

 folgendermassen beweisen. 



In unserer Figur sind die P die Ecken des eingeschriebenen 

 regelmässigen Zwölfeckes ; ferner sind OPqAP.^, OP^BP^^, OP^CPg 

 OPqDPq über den Radius erhobene Quadrate. 



Wenn wir auf die Halbierende des Winkels PqOP^ die Strecke 

 OE=PqPi auftragen und E mit Pq resp. P^ verbinden, so ist 



1) A P^OE ^ A BP^P^ 



2) AP.OE ^ /:^BPqP^ 



3) A P,EP^ ^ A P,BP,. 



Nämlich der Centralwinkel PqOE steht auf halb so grossem 

 Kreisbogen, als der Peripherie winkel BP^P^, sie sind also gleich. 

 Ferner sind PqO und BP^ beide dem Radius, OE und P^P4, beide 

 der Seite des Zwölfeckes gleich. Demnach sind in den Drei- 

 ecken PqOE und BP^P^ je zwei Seiten und der eingeschlossene 

 Winkel gleich, woraus die Congruenz der beiden Dreiecke folgt. 



In derselben Weise kann man die Formel 9) beweisen. 



Infolge der bereits bewiesenen Formeln ist PqE = BP^ und 



