FUNDAMENTALGLEICHUNGEN DER LIN. D4FF. GLEICHUNGEN. 275 



Diese Determinante tiansformiren wir in der Weise, dass 

 wir in dem ersten, Aj Zeile enthaltenden Theile zur (i+l)-ten 



Zeile die, mit —i multiplicirte i-te Zeile, die mit ( multiplicirte 

 i—l-te Zeile, die mit — ( 1 multiplicirte /— 2-te Zeile etc. hinzu- 

 fügen, die Transformation bei der h\-ien Zeile beginnend. In der- 

 selben Weise transformiren wir den folgenden, aus kj Zeilen be- 

 stehenden Theil der Determinante u. s. f. 



Wenn wir nun in Betracht ziehen, dass die .s-te Ableitung 

 der Function ^ (x) der Coefficient von h^ in dem Ausdruck 



tf> (.t) =(p{X'\-h) — <p {x + s/?.) + S(f (a? + s — 1 /i) + 



+ iQ<p{x+j^h)-^---M-^y<p{oc) 



ist, dann folgt, dass in dem ersten, k\ Zeile enthaltenden Theile 

 der transformirten Determinante, in den Elementen der i+l-ten 

 Zeile die Coefficientf n von h^ die z'-ten x\bleitungen der entspre- 

 chenden Elemente der ersten Zeile sein werden ; in dem zweiten 

 Theile die Coefficienten von h^ in der i+l-ten Zeile die i-ten Ab- 

 leitungen der entsprechenden Elemente der A:j^ + l-ten Zeile der 

 Determinante /) sein werden u. s. f. Wenn wir also aus einer 

 jeden Zeile die niedrigste Potenz von h, also im ganzen die 



-te Potenz von h herausheben, dann sind die Coefficienten \on]i° 

 in der verbleibenden Determinante genau die Elemente der ur- 

 sprünglichen Determinante J. W^enn wir also die Determinante 

 D nach Potenzen von h ordnen, dann ist der Coefficient von h" in 

 dieser Determinante genau die Determinante J. 



Nun ist aber die Determinante D nichts Anderes, (absolut 

 genommen) als das Differenzenproduct der Elemente der zweiten 

 Columne dieser Determinante. 



Bei der Bildung dieses Productes nehmen wir zuerst die 

 Elemente der zweiten Columne eines Theiles in Betracht, welche 

 nur in den Vielfachen von h von einander differiren. Auf dieser 

 Weise erhalten wir aus dem ersten Theile das Product : 



18* 



