EINIGE SÄTZE ÜBER REGELSCHAREN. 349 



eders die Fläche p in einem Kegelschnitte A'^^, und zwei Kanten 

 in dieser Fläche trefifen Ä;<-> in vier harmonischen Punkten, durch 

 welche vier harmonische Strahlen der Schar gehen. Diese Strahlen 

 werden aber auch von den Gegenkanten der zwei ersten, also von 

 ihren Polaren, getroffen. 



4. Diejenigen drei Strahlen einer Regelschar, welche die 

 Gegenkanten eines Polartetraeders ihrer Trägerfläche p von 

 einem Strahle g^ der Schar harmonisch trennen, treffen die Flächen 

 des Polartetraeders in je vier Punkten, die projectiv sind mit den 

 i'ier Punkten, in welchen g^ die Flächen des Polartetraeders trifft. 



Die Trägerfläche p schneidet eine Fläche a^ — ^jA^Ag des 

 Polartetraeders A= AiA2A^A^= a^a2a^a^, in dem Kegelschnitt k^-K 

 und g^ trifft k^^^ im Punkte K^. Sind nun die Punkte L^M^Ny von 

 Ky durch die Eckpunkte und Gegenseiten Aj, A^ A3; A^, A^A^; 

 Ao, AjAj des Polar dreieckes A^^A^A^ harmonisch getrennt, so ge- 

 hen durch die Punkte L^M^N^ die im Satze erwähnten Strahlen 

 der Schar. (Wir bezeichnen auch diese Strahlen mit g^ , und die 

 durch KyLßlyN^ gehenden Strahlen ihrer Leitschar mit h^). 



Da nämlich der durch /v^ gehende Strahl ^,, die durch die 

 Punkte KyLiMyNy gehenden Strahlen /?j in den Flächen a^, a^, 

 «.1, «3 des Polartetraeders trifft,"^ so ist der Wurf g^ {a^ayac>a^) dieser 

 vier Treffpunkte projectiv mit dem Wurf der vier Strahlen h^ auf 

 p, projectiv mit {KyLyMyNi) auf k^'-K Aber jede der vier Strahlen 

 g^^ trifft die vier Strahlen /i. auf den Flächen des Polartetraeders 

 A, also ist der Wurf der Treffpunkte der acht Strahlen ^j, //j 

 projectiv mit dem Wurf {KiL^M^Ny). 



Für die durch die Punkte K^LyMiNi gehenden Strahlen ^^ 

 (so wie auch h^) sind bezw. die Treffpunkte 



g^ (a^a^a^ao) A ^fj {aiU^asa.,) 7\ g^ {a.,a^a^ay) 7\ g^ {a-^^a^^f^^a^. 



Schneiden die Gegenkanten AjAg = «^''^4, AjA4 = «jag die 

 Fläche p in keinen reellen Punkten, so sind auf Ä;(-> die Punkte 

 K^My, von LylS^^ getrennt, als auch die Treffpunkte der vier 

 Strahlen g^ (und h^ mit den Flächen ayj.^, a^a^ des Polartetra- 

 eders A. 



* Eeye, Geometrie der Lage, II. Bd., \). 273. 



