EINIGE SÄTZE ÜBER REGEIiSCHAREN. -^31 



Polartetraeders A die Fläche p schneidet, die Vierecke K^L^M^N^, 

 K,2LJ4JS,2 einbeschreiben, deren Diagonaldreieck A^^A^^A.^ ist und 

 deren Eckpunkte auf Ä;'-> ein dem gegebenen AVurfe projectiven 

 Wurf bilden. « 



Oder : Auf der Kante A^A.^ des Polartetraeders A, welche 

 p in keinen reellen Punkten schneidet, solche conjugierte Punkte 

 P\P<i.> Q\Q-2 bestimmen, dass diese mit A^A^ zusammen, mit dem 

 gegeben Wurf (ABCD) projective ^Nürfe {A^P^A.P^), [A^Q^^A^Q^) 

 bilden. 



Diese Aufgabe wird aber mit Hilfe des Kegelschnittes M'^^ 

 nach V. Staudt * wie folgt gelöst : 



Man projiciert die Punkte A^A^ aus einem beliebigen Punkte 

 O des Kegelschnittes /»;'-' auf diesen nach ^iAs; bestimmt auf der 

 •durch A^ gehenden Geraden A'iAs den Punkt A^ derart, dass 



(A'tA^A'sA'i) A [ABCD). 



Die Polare des Punktes A'2 trifft M^^ in den Punkten PlQ'i ; 

 die Geraden PIA^, Q'iA,2 treffen A<"^* nochmals in den Punkten 

 P^Q'^2 ; die Projectionen der Punkte P[Q\P'iQ'i aus auf die Gerade 

 AjAg sind PiQiP^Q^. Schneidet man schliesslich den Kegelschnitt 

 A;'-> mit den Geraden A^P^, A^Qi, A^P^, A^Q,^ in den Punkten 

 L^iVi, K^M^, K^M^, L^K2' ^^ ^i^^ ^i^ Würfe der Treffpunkte der 

 durch die Punkte L-^h\K^M^ und K^M^L^N^ gehenden Strahlen 

 gjii , bezw. gji^ der beiden Scharen mit den Flächen des Polar- 

 tetraeders A, dem gegebenen Wurfe (ABCD) projectiv. 



Es ist nämlich 



{ABCD) A [A'iAiA'sA'^) A {AiPLAsPi) A {A.RA^P^) A 

 A {K,L,M,N,) A g, {a.a^a^a.^ 

 und 



{ABCD) A (AiAA^:.) A {A[CM',Q\) A {A.Q.A^Q,) A 

 A {K^N^MiL.^ A gi{a^a.,a..a^, 



also werden die vier Strahlen g^ (so wie auch //j) die vier Flächen 

 iiytt^a^a^, a^a^ttqfl.^, ög^s"*"!» '^sö^a^i^^i ^^^^ ^^^ ^'^^^ Strahlen /^j 

 (so wie auch h^f die vier Flächen a^a^a^a^, a!fl.^a<^a^, a^o-^a^a^. 



* Beiträge z. Geoui. d. Lage; I. p. 52. 



