QUADEATURE DES SURFACES COURBES. 31 



b) Soit ^(x) une fontion semicontinue bornee et non nega- 

 tive, et soit Xj une suite de divisions teile que l'on ait 



a 



•i-X,^(^(a;.) + ^(^i+i)) (^.-+1 - ^i) =/ t{oc)dx. 







Soit X un nombre positif, donne ä l'avance. Soit Ä un 

 ensemble denombrable et partout dense des points dans (0, a). 



On peut choisir un nombre limite de points de Ä, tel que 

 si x' et x" > x' en sont deux points quelconques voisins x" — x 

 est plus petit qu'un nombre positif donne ä l'avance, et tel que 

 pour les points de X^ , contenus dans (x', x"), pour ies r assez 

 grands, on ait 



t{^^) -g'f'{x',x")<l, 



ä l'exception de certains d'entre eux. 



Pour ces points exceptionnels la valeur de 



est plus petite qu X, — la somme etant etendue ä tous les inter- 

 valles {x, x") et ä tous les points exceptionnels ~ d etant la 

 limite superieure des valeurs de ipix). 



c) On demontre le tbeoreme du No. 9 du Chap. X, et on 

 conclut par lä que si l'on avait pour une suite X^ 



a 



=j [ip{x) + q){x)]dx 







on aurait ^, 



i^fcoL^fC^i) + 9>{^i+x)](^i+i-Xi) =J ^(x)dx. 



* Designons par e le nombre des points exceptionnels. La suite Xj a 

 un quotient fini. II existe donc une constante positive C, teile que 



Par lä 



