32 ZOÄED DE GEÖCZE. 



d) En appliquaut les theoremes a) c) et b) ä la fonction 



S^{x,h) + S^(a,-^-xy 



et en faisant usage du theoreme du No. 1, on obtient le tbeoreme 

 du No. 6, en prenant m^ = ^r} Vj ^ — " ^j- 



e) On obtient, par des considerations analogues sur les 

 fonctions seniicontinues bornees inferieurement, le theoremesuivant: 



Seit l'aire de s = f{x,y) finie, et soit de plus la lon- 

 gueur de son contour finie. 



Soient £>0 et d^ > 0, avec lini<5^^ = 0, des nombres 



donnes ä l'avance. 



On peut construire une suite de divisions ä quotient 

 fini X^ Y^ , teile que, K etant une constante clioisie 

 arbitrairement au delä d'une certaine limite ne depen- 

 dant que de e, on ait pour les points x^ de X^ verifiant 

 S{x^ £ K, 



S{x,) - mXx^ < d^ 



ä l'exception de certains d'entre eux et on a comme dans 



b) K2{x,^l-Xi-l)<Sr- 



Pour les points diviseurs pour lesquels ^'(iUj.) > Ä" la 

 somme des valeurs 



est plus petite que e. 



Des relations analogues subsistent pour les points 

 de Y^^. 



On observe que la somme des aires des rectangles de X^ Y^^ 

 pour lesquels l'une des cotes est une ligne diviseure x^ ou pj pour 

 laquelle on ait S{x^ ^ K ou 8(1/^) > K, est plus petite que 2£. 



f) Etant donnees des surfaces f^, /"^ • • • en nombre limite, 

 on peut construire une suite de divisions X^ Y^ ayant respective- 

 ment les proprietes de e) ou celle du theoreme du No. 6. De 

 plus, etant donnees de fonctions semicontinues bornees s Jx) et 

 s^{y), definies respectivement dans (0, a) et dans (0, b), Xj et 

 Y^^^ peuvent respectivement satisfaire au theoreme 7), relativement 



