QUADRATURE DES SURPACES COURBES. 33 



9. Une propriete nouvelle et generale des fonctions 

 d'une variable. 



Soit ß = q)(x) une fonction bornee, uniforme ou non, et soit 

 (p(x) > 0. 



II est evident que, par l'addition d'une constante positive 

 suffisamment grande, on pourra imposer ä cbaque fonction bornee 

 les proprietes de q). 



Soit g^ et G^ les limites inferieure et superieure des valeurs 

 de gp pour les points de (x^, ^i+i) et soit 



g {x) = «X^^, • {x,^, - x^), G{x) = «X^ G, ■ (x,_^, - x,), 

 9{0) = 0, G(0) = 0. 



On aura g(x) ^ G{x) 



et g{x), G(x) sont des fonctions (uniformes) bornees, continues, 

 non decroissantes — ce sont les integrales par defaut et par 

 exces de q)(x), d'apres la definition de M. Darboux. 



Si, pour une certaine suite Xj , l'expression 



-k'X^{cp(x;) + (pioc,^,))(x,^,-x,) 

 existe pour chaque x dans (0, a) (faisant un cboix ou non entre 

 les valeurs de q){x^) lorsque la fonction n'est pas uniforme) cette 

 quantite est necessairement comprise entre g[x) et G(x). 

 Et si x^ > a;, on a 



0£g(x,)-g{x)£rX-^{<p{x,)-i-cp{x,^,))ix,^,~x,)£G(x,)~G(x). 



Soit ^(x) une fonction continue, avec /t(0) = 0^ et teile que 

 pour chaque X■^^ et x (x.^ >- x) on ait 



g(x-i) — g{x) ^ yi'ix-^ — ii{x) ^ G^x^) — Gix). 



Theoreme. II existe, dans ces conditions, une suite 

 de divisions (de premiere espece) X^.pour laquelle 



-i-"^L(9'(^.-) + 9^(^,+i))(^,+i - ^,) = /^(^), 



mais on doit remarquer que le choix de la valeur de (p{x^, lors- 

 que (p n'est pas uniforme pour x = x^, n'est pas arbitraire. 



Remarque. ^i est une fonction dont les nombres derives 

 sont bornes. 



En etendant ces discussions ä certaines fonctions non bomees, 

 /u- pourra etre non seulement une fonction continue ä nombres 

 derives non bornes mais de plus une fonction discontinue. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XXVI. 3 



