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C'est ä dire que 



X^ y.. iÄBG+Än(J) = X,^ Y^ t,, = t, 



la quadrature de notre surface est achevee, on a pour 

 l'aire j^^^j^^^^^ 



Remarque. On a encore (voir Chap. VI), 



(voir Introduction definition 4). 



Chapitre X. 



Variation des aires des surfaces formant un systfeme continu. 



Gas 011 l'aire est donnee par une integrale double. 



1. Soit = f(x, y, II) une fonction bornee et continue des 

 variables oc^ y, (i, x et y variant respectivement dans (0, a) et 

 (0, h) et ^ variant de — oo ä + oo. En donnant ä fi une valeur 

 constante, 3 = f(x, y, ii) sera donc l'equation d'une surface^ et 

 toutes ces surfaces forment evidemment un Systeme continu. 



Nous supposerons que pour chaque ^i il existe deux nombres 

 S {^) et G (u) finis et positifs, tels que les longueurs des sections 

 X = const. y = const. de 3 = f{x, y, ^) soient plus petites que 

 S {^) et que, si y^ — y =^0 



I Vi — y ''^^^' 



Quoique chaque S (^) soit fini, il est possible que la 

 limite superieure de tous les ^(,11) peut etre infinie. De meme 

 pour les G(ii). 



Soit T(a) l'aire (T^ = T^) de la surface s = f(x, y, jti). Nous 

 allons demontrer que T{^) est une fonction semicontinue. 



Soient t.^j(^), ßij(^), y^j^i) les valeurs de t.^., ß,^j 7.^., pour 

 la surface = f(x, y, (i). Prenons une division Xj Y^^ teile que 



soit aussi petit que l'on veut. 



Soit fi^ assez voisin de /u.. On voit aisement, par des con- 

 siderations geometriques, que les differences 



