QUADEATURE DES SURFACES COURBES. 51 



I ßi,j (^) - ßij M I , I Tij (^) - Tij M I 

 sont aussi petites que l'on veut. 



Ainsi en considerant les expressions de t^ j((i) et de t. ^-(ß^) 

 (Chap. III), on conclut^ ä l'aide des inegalites du Chap. IV, que 



est aussi petit que l'on veut. 

 C'est ä dire que 



est aussi petit que Ton veut. 



est aussi petit que Ton veut. 



ainsi la difference 



r(^) - T{^,), 



qui est ou negative ou positive est dans ce dernier cas aussi 

 petite que l'on veut. T(fi) est une fonction uniforme de ^- eile 

 sera donc semicontinue. (No. 1 Chap. III).* 



2. Soit z = q){x, y) une fonction bornee, definie dans (0, a; 0, &). 

 Soit (xj . et g'^ . les limites superieure et inferieure de ses valeurs 

 pour les points de (x^^'x,^^; y^yj+i). 



Les quantites 



XYG'P.-a. ., XYg'P.-cc. . 



existent et elles sont finies. Si elles sont egales, nous dirons que 

 (p est integrable et nous donnerons ä 



XYG'P.-a. ., zr/.-a. . 



le nom d'integrale double de qo. (Definition de Riemann.) 

 Son Symbole est ^ 



/ / ^){x, y)dxdy. 







Pour qu'elle existe il faut et il suffit que 



^,.r-»„((?^. -<,).<,,, 



* Ce theoreme ä ete demontre par M. Lebesgue (la definition de l'aire 

 etant T.^) pour une famille continue d'ailleurs quelconque de surfaces. 

 These, p. 114. 



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