QUADEATUEE DES SUEFACES COUEBES. 5B 



Les limites de L{x,x -\-u),l{x,x + u), L'{x — u, x), l'{x— u,x) 

 pour M = sollt determinees*; designons les par 

 A{x), )^{x), A'(x), X'{x). 



On voit que les fonctions Ä{x) et X{x) sont bien definies et 

 uniformes pour chaque x ^ a, ainsi que les fonctions A'{x) et 

 l' (x) pour chaque x =^ 0. 



Si nous prenons A{a) = A'{d), l{a) = l'{a), A'{0) = -^(0), 

 A'(0) = 2(0), les A{x), l{x), A'{x), k'{x) seront definies dans (0,a). 



Ces quantites sont ce que l'on appelle les quatres derivees- 

 de (p pour le point x consideree. Ils ont ete definis et etudies 

 par P. DU Bois Reymond et Dini. 



Nous allons enoncer quelques proprietes de ces derivees: 



a) Lorsque Ä > est assez petit, la valeur de 



h 

 est comprise entre A{x) -{- s ei l{x) — £ , a y- , et est aussi petite 

 que l'on veut. 



b) Les quatre derivees ont la meme limite superieure dans 

 cliaque intervalle (v, w) de (0, a). II en est de meme pour la 

 limite inferieure**. 



Si x' =4= x" et si x', x" sont points de (v, w) la limite superieure 

 des valeurs de 



(p{x") — (p{x') 



x" — x 

 est egale ä la limite superieure des quatre derivees dans {v, w). 

 II en est de meme pour la limite inferieure. 



c) La, oü l'une des quatres derivees est continue pour une 

 point X, les trois autres le sont aussi, et leurs valeurs sont egales***. 



En ce cas, (p j est dififerentiable et le quotient differentiel, 

 derivee dans le sens ordinaire, est la valeur commune des quatre 

 derivees. 



4 Pour y = const., 2 = f{x, y) est une fonction de x. On 



* Par exemple L{x,x -\- u) ne croit pas lorsque u decroit. 



** Ayant comme toujours v<iio^ on doit prendre A{w) = Ä' {^)^ 

 liw) = %' (w) , Ä' (v) = Ä{v), l' (v) = X (v). 



*** Le theoreme est vrai meme lorsque la valeur de la derivee est 

 -1- CX) ou — oo, mala on doit alors elargir la definition de la continuite. 



