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peut former ses quatre derivees. Designons les par Ä^{x, y), 

 X^{x, y), -Ä^ix, y), ^J{x, y). Quand y varie, elles sont donc des 

 fonctions uniformes sur (0, a^ 0, h). 



De meme pour x = const. = f{x, y) est une fonction de y. 

 On peut form er quatre derivees pour la variable y, en faisant 

 varier X] elles sont des fonctions bien definies et uniformes sur 

 (0, a] 0, &). Designons les par Ay{x, y), ly{x, y), Äy{x, y), 

 ly{x, y). On demontre tres simplem ent que les quatre derivees 

 par rapport ä x ont les memes limites superieure et inferieure, 

 dans chaque rectangle {x',x"-^ y'ry") <ie (Oj <*; 0, &). II en est de 

 meme pour les quatre derivees par rapport k y*. 



5. Supposons que, pour la surface s = f{x, y), il existe un 

 nombre G fini et positif, tel que, si 



-\<G. 



Pour cette surface, les derivees sont toutes comprises entre 

 + G ei -G. 



On demontre aisement, ä l'aide des N^°® 4 et 2, que lorsque 

 l'une des derivees relatives ä x est deux fois integrable, les trois 

 autres le sont aussi, et que les quatre integi'ales doubles sont egales. 

 II en est de meme pour les derivees relatives ä y. 



Designons respectivement par l^ et par X l'une des derivees 

 par rapport ä a? et l'une des derivees par rapport ä y. 



Lorsque l^ et l sont integrables 



(l+Af + Al)^ 

 l'est aussi et les 16 fonctions — • l^ designe quatre fonctions l 

 aussi — ont la meme integrale. 



6. Theoreme. Dans ce cas on a 



i^ =ff{^ + >^j + iWdx dy 



_ 



* Mais sur le contour de {x\ x"\, y\ y") on doit changer les valeurs 

 des derivees. Par exemple sur la ligne x = x" on doit prendre 

 ^x{x", y) = A'x{x'\ y), etc. 



