QUADRÄTURE DES SURFACES COURBES. 55 



et^ Xj Y^ etant une suite arbitraire de divisions de pre- 

 miere espece ou non, on aura 



t = X,^ Y^^ i^SC +ÄDC) = X,^ r,„^ (AB' CD), 

 c'est ä dire que 



t = XY{ÄBC + ^-DC) = XYiÄB'CD) = Tg = T,. 

 Demonstration. Pour la suite de divisions du Chap. IX on a 



t=X,^Y^^{ABC+ÄDC). 

 Mais on a 



ÄBc^h+(-^S\\(^^ni%i 



et 



^''^ = yj + i — yj= ''^ ' ^''^ — ^i+i — ^i— ''^ 

 Donc 



et ABC est aussi compris entre les memes limites. 

 Ainsi 



X,^r„^[l + (^iy)V-«^-')f- a,,^X,Y„^{ABG+ABG) 



et on peut remplacer le terme au milieu par 



X,Y^,^{ABC + ABC) = X,Y^^ {AB CB). 

 Pour r = oü les deux termes extremes sont egaux ä 



a h 

 



et ainsi 



a b 



t = ffil + A| + UYdx dy. 







Soit maintenant X^ Y^ une suite quelconque de divisions 

 de premiere espece ou non. L'inegalite (A) subsiste, et les limites 

 des deux termes extremes etant egaux ä Tintegrale, et ainsi ä t, 

 on aura 



t = XY{ABC + ABC) = XY{AB'CB) = T,= T^, 



