56 ZOARD DE GEÖCZE. 



Lorsque 9' = ^ , i> = -0- existent et sont deux fois integrables, 

 on obtient la formule connue 



jy\l + q'+p'fdx dy = T, = T^^t, 

 00' 

 et comme precedemment 



t = XY{ÄBC + ÄDC) = XY{AB'CB) = T,= T,. 



Nous allons maintenant traiter le cas le plus general, oü l'aire 

 est donnee par une integrale double. 



Nous enoncerons dans les N'^"^ 7 — 13 quelques theoremes 

 preliminaires. 



7. Soient tl^{x) et (p{x) deux fonctions quelconques de x dans 

 (0, a), on sait qu'on a en general 



a a a 



J ip(x)dx -\- j cp(x) dx ^ ( [^(a?) + (p(x)'\dx. 

 ^ 



Mais, lorsque t(x) et (p(x) sont des fonctions semieontinues 



bornees inferieurement, on a 



a a X 



J il){x)dx-\- j if (x) dx = j \jp {x) + fp ipc)] dx. 







II est evident qu'on ne doit faire la demonstration que lorsque 

 les deux integrales par defaut du premier membre ont chaeune 

 une valeur finie — dans le cas contraire on aurait -f- 00 = -|- c». 



Dans ce cas ces fonctions sont sommables, d'apres les 

 idees de M. Lebesgue; nous designerons l'integrale de i^ix) au 

 sens de M. Lebesgue par 



a 



(L)f'^{x)dx. 

 



On a, en general, ^ (a?) et (p {x) etant des fonctions sommables : 



a a a 



{L)J ip{x)dx + {L)j (p{pc)dx = (-^) / [^(^)+ cp{x)'\dx. 

 000 



Mais lorsque ip est semicontinue on a 



j ip(x)dx = iL) i i>(x)dx. 



