QUADRATURE DES SURFACES COURBES. 57 



Donc (gp etant aussi semicontinue) 



a a a a 



I ■4}{x)dx + / (p{x)dx= {L) j ip(x)dx + (L)J (p{x)dx = 



Ö 



a 



^ {L)flt{x) + (p{oc)]dx. 



u 

 Mais on sait que il> et q) etant semicontinues ij -}- (p Test 

 aussi, ainsi 



a a 



(i) / [^|J(x) -f- q){x)]dx =J [ti^) + (p{x)]dx 







et enfin 



a a a 



1 ilj(x)dx ^ j (p(x)dx = / {4>(x) + q){x)]dx*. 







Theoreme. Soit Q un ensemble de points situes sur (0, a). 

 Supposons qu'on puisse le renfermer ä l'interieur** de certains 

 intervalleSj dont la longueur pourra etre rendue aussi petite que 

 Ton veut, et dont le nombre, fini ou non, sera dans le dernier cas 

 egal ä la premiere puissance. 



Nous supposerons de plus que la somme des longueurs de ces 

 intervalles soit plus grande qu'une constante d^O (d<^a), mais 

 que par le clioix convenable des intervalles, eile puisse etre rendue 

 plus petite que d -\- s, £ > 0, d'ailleurs arbitraire. 



Adjoignons ä chaque point x de (0, a) qui n'appartient pas 

 ä ^, un Intervalle {u,v) qui le renferme**. Lorsque M^%<a;< 

 %<u nous allons considerer (u^, v^) aussi comme adjoint ä x. 



Nous designerons ces intervalles par I. 



Soit X un nombre positif donne ä l'avance. 



Alors 11 existe une division X^ de (0, a), pour laquelle les 



* Autrefois j'ai demontre ce theoreme par une methode qui semble 

 plus longue que celle du texte, mais ne Test pas an realite, puisque eile 

 ne suppose pas la connaissance de l'integrale de M. Lebesgue. Mais comme 

 les belles recherches de M. Lebesgue sont aujourd'hui suffisamment connues 

 nous nous contentons d'indiquer un lemme qui rend aussi des grands Ser- 

 vices dans la quadrature de z == f{x,y). 



** Les points et a exeptes, ils ne peuvent etre que l'extremite d'un 

 tel intervalle. 



