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longueurs des intervalles sont plus petites que A, de plus, la 

 somme des longueurs des intervalles de X^ qui ne sont pas des 

 intervalles I, est plus petite que d -{- X. 



Dans les applications nous avons eu d ^ 0*. 



8. Enon9ons un autre theoreme. 



Designons par (0, c) un Intervalle de la variable 0, par Z^ 

 une division de (0, c), par (^,^, ^h + i) l'intervalle general de Z^, 

 etc 



Soit Z un ensemble de seconde categorie** de (0, c). Soit 

 ilj^.(Z){r = 1, 2, . . .) une fonction umforme bornee et positive, 

 definie sur 1' ensemble Z'^ soit de plus ^^ integrable et 



Ainsi pour chaque point ^ de ^ 

 limt,{Z) 



r = 00 



est bien determinee. En designant cette valeur par W(Z), W{Z) 

 sera une fonction uniforme et positive sur Z . Supposons que W 

 soit une fonction semicontinue f . Alors on aura 



* Le theoreme est une generalisation formelle d'un theoreme de 

 M. Lebesgue. Je crois que M. Lebesgüe Temploie implicitement dans ses 

 Le9ons sur rintegration, p. 62. 



** C'est ä dire que Tensemble (0, c) ■ — Z peut etre renferme, dans des 

 intervalles, pour lesquels la somme de leurs longueurs est aussi petit que 

 Ton veut. Cette delinition est due ä M. Baire. 



*** Bien entendu, quoique chaque t/j^ soit bornee individuellement, la 

 limite superieure de i|>^. peut augmenter indefiniment avec r. — Designons 

 par Gfiig/) la limite superieure (inferieure) de ip,.{Z) pour les points de Z 

 contenus dans (0^, Zf^^i). Nous dirons que ip^(Z) est integrable, lorsque 

 l'on a 



-Z'G^A (^A + 1 — ^/«) = ZgiL i^h+i — ^h) 1 



et nous designerons cette valeur par 



c 



j '\i;>r(Z)dz. 

 



f C'est ä dire que pour chaque point Z de Z on doit avoir 

 W{Z') = lmig^'{Z'-e, F+rj), 



s + >; = 



en designant par g^ {Z — f, Z'-f ^) la Hmite inferieure des valeurs de W 

 pour les points de Z contenus dans {Z — 8 , Z' -\- tj). 



