QUADRATURE DES SURFACES COURBES. 59 



c c 



fw(Z) dz = lim fi'.iZ) dz *. 



'•=»0 



9. Revenons au theoreme du No. 7. Designons par 1^. une 

 valeur qui, comprise dans (x^, x^_^^, soit teile que, pour une cer- 

 taine suite de divisions X^ , nQjis ayons: 



a 

 



Alors on aura 



a 



^loo ^ (^D i^i + 1 - ^^) = ftix)dX, 

 

 a 



^lo. "P (^^) {^i + 1 - ^i) = f^P {oö)dx. 







Nous supprimons la demonstration qui est de toute evidente. 



Remarquons que le theoreme s'etend aussi ä la somme de 

 plusieurs fonctions semicontinues, bornees inferieurement^ dont 

 l'integrale par defaut a une valeur finie. 



10. Soit ■ipix) ^ et semicontinue, et soit de plus 



^ a 



7/;(0) < + oü^ il){a) <i -\- oo, j ■il)(x)dx <i -\- oo. 







a 



Ayant / ip (x) dx <, '\- oo , W. existe necessairement dans chaque 







Intervalle partiel de (0, a) des points x pour lesquels il){x)<i+ oo. 



On doit remarquer que W {Z') n'a pas necessairement des minima, 

 comme la fonction semicontinue definie pour tous les points de (0, a), (ou 

 pour les points d'un ensemble relativement parfait). W{Z) est certaine- 

 ment semicontinue lorsque cliaque ip^. (Z) est continu sur l'ensemble Z. 



c 

 



Si l'ensemble Z coinciderait avec (0 , c) le theoreme serait une conse- 

 quance de la condition 6. de M. Lebesgue. Le90ns sur l'integration p. 99. 

 Cette remarque conduit ä la demonstration. 



** Par exemple on peut cboisir ^^ de teile maniere qu'on ait 



