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On peut donc former une division Xj, teile que l'on ait, pour 

 ses points diviseurs, il^ (x) <C -{- oo . 



Soit Xlj. une suite de divisions ä quotient fini. Choisissons 

 dans chaque intervalle de X^^, ne contenant aucun point de X, 

 un point 1^-, tel que nous ayons 



Les points 1^- et les points de X^ forment une division X^ . 

 Des que r depassera une certaine limite, nous aurons 



a 



^i, (^ (^z) + ^ (^i + 1)) (^i + 1 — ^i) < 2 HJt (sc) dx, 







H etant une constante qui ne depend que du quotient de la 

 suite Xi^. 



De plus, lorsque ti^) est egal ä la sonime de plusieurs 

 fonctions positives et semicontinues, 



i^{x) = tp^ix) -\ h i^kix) ^ + t^{x) 



nous aurons, des que r depassera une certaine limite: 



a 



\ i-^k (^z) + i'h (^i + 1)) (.^i + 1 - ^d <'2HJ^j^{x)dx. 

 De plus {x\ x") etant un intervalle quelconque de (0, d) on a: 



x" 



-X;';'{t,{x^ + i,^{x,^,)){x,^^-x^ < 2Hft,{x)dx. 



x' 



11. Nous allons demontrer maintenant que 

 existe et que l'on a 



a 



XYß,_j=fj(x)dx. (No. 2. Chap. V). 







Soit X, Y^ une suite de divisions. Posons 



m, (x) = r,„^_ i f(x, Vj^,)- fix, pj) i , 

 m^(x) est evidemment une fonction uniforme, bornee et continue 

 de X, et on a 



\^^m,ßiJ=J^r(^)<^^- 



