QÜADRATUEE DES SUßFACES COURBES. 61 



J{x) est semicontinue et ainsi, d'apres le theoreme du No. 8 



a j 



lim / fnX^)dx =J J(x)dx. 



'■=~ 



De plus 



a 



lim fmX^)dx = X,^Y^J,^.. 

 On conclut 



a 







En considerant que 



a 







par suite de la continuite de la surface, tend vers avec \y" — y \, 

 on demontre, ä l'aide de la superposition des divisions, que 

 Yj, y,„, etant une suite quelconque de divisions (de prämiere 

 espece ou non), les valeurs limites de la suite des valeurs 



coincident avec Xj^Y^^J,^. 



a 



Donc XYß-j existe et est egal a J J(x)dx. 



_o 



On demontre de meme que 



b 



XYy,^,=fjiy)dy. 







Soit Q un ensemble des points situes dans (0, a; 0, h). 

 Prenons £■ ^ = 1 lorsque (^j, ^i + ii ^y, 2/i+i) contient au moins un 

 point de Q, et soit e^ y == «ia-^s le cas contraire. 



On demontre aisement que, lorsque l'aire de f est finie, 



existe. Soit de plus ß. j la valeur qui est pour (aJ^-, a^^j + r, 2/^, «/y+i) 

 ce que XYß.j est pour (0, a; 0,6). On aura 



Soit ß cette valeur, designons par y^j, y^ des valeurs rela- 



