62 ZOÄED DE GEÖCZE. 



tives au plan yz, et respectivement analogues ä ß.^^, ß^, et soit 



a est evidemment la mesure exterieure de ^.* 



12. Soit z = cpix, y) une fonction uniforme dans (0, a-, 0, &) 

 et soit X, y un point de (0, a; 0, &). Soient e^, e^, tj^, rj^ positifs 

 et soit G(x—E^, X -\- E^-^ y~Vi} V '^ V2) ^^ limite superieure des 

 valeurs de q), pour les points de (x — e^, x -\- e^, y -—rj^, y~^%\ 

 contenus dans (0^ a; 0, h). 



On sait que la limite de cette quantite pour e^^= £^= r]^ 

 = 7/2 = existe, et qu'elle est independante du mode de decroissance 

 des fi7 «2; '*?!? ■^2- Soi^ ^{^jV) cette limite; designons t^qx g(x,y) 

 la valeur analogue obtenue ä l'aide des limites inferieures. 



On sait que l'ensemble des points oü G{x, y) = -\- 00 est 

 relativement parfait et qu'il en est de meme de l'ensemble des 

 points pour lesquels g{x, ?/) = — 00. L'ensemble somme est aussi 

 relativement parfait. Designons le par Q. 



Supposons que 0; = et que, lorsque E^^^ = 0, 



^i + lVi+X 



I / (p(x, y)dxdy 



existe — c'est ä dire que lorsque e- ^ = 0, (p soit bornee et inte- 

 grable dans {x., x^^^; y., y.^-,). 



Posons k^ j -\- £■ j = 1 et, quelque soit le signe C3, posons 

 • CO = 0. ' ' 



Pour une suite X^ Y^ 



^ico'^mjij -f f\^p{x,y)\dxdy 

 existe, et l'on demontre de plus que 



* En designant par Q^ l'ensemble derive d'ordre quelconque (fini on 

 transfini) de Q ou aura 



'^Q.^^«' h=h^ ^Qx^^Q- 

 Pour les ensembles de points situes sur une surface z = fix^ y) ä aire 

 finie, on peut etablir le theoreme des mesures ä l'aide des a. ., ß. ., 7. ., t. . 



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