QUADEATURE DES SURFACES COURBES. 27 



Donc la mesure de S/^ serait ainsi evidemment plus petite que 

 ce qui est impossible, la mesure de /S^ etant d/^. 



Donc 



• 2 r ^ "A' i 



^h ' wr = ^A7 1'^ ^ ~;r 



Posons 



e/ 4- e/ -1 H- e^ = e'. 



c) Dans cliaque Intervalle de X/ qui n'a pas pour extremite 

 un point de X^, nous clioisirons un point qui, si cela est possible, 

 satisfasse ä la condition 



S{x) — m^x) < d. 



D'apres ce qui precede, on ne trouve que e points ne satis- 

 faisant pas ä cette inegalite. 



Formons ä l'aide de ces points une division X^, ayant le 

 quotient -^ et contenant X^ (No. 10. Chap. II). 



Nous aurons (e etant le nombre designe dans le tbeoreme 

 du debut) 



e^e -\- n -{- 1, 



car ces points en nombre e ne peuvent etre que points des 

 intervalles (en nombre e') designes ci-dessus et des points de X^. 

 Mais, lorsque l' est assez grand, nous aurons 



l>^, (No. 11. Ch.II). 



Donc 





en prenant donc 





nous aurons 



e <il ■ 7j. 



Le tbeoreme est donc demontre. 



2 bis. On Yoit que, dans le cas oü S(j/) reste inferieur ä une 

 limite finie, on a le theoreme correspondant. 



Soit Xj , . . . Xj , . . . une suite de divisions et soit Yq 

 une division quelconque de (0, 6), donnee ä l'avance. On 



