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Donc^ d' apres le No. 1, il existe un nombre entier s', tel que 

 pour les s ^ s, et tel que pour cliaque point de d^ on ait: 



en designant par g^' la limite inferieure des valeurs de S(x) pour 

 les points de l'intervalle c?/ considere. Bien entendu, g^'^ varie avec 

 h, et meme h etant invariable^ g^, varie de Tun ä l'autre des c?^'. 



b) Soit X^ la division formee par les points de X„ et par 

 les estremites des (?^'. Formons une division X^' qui la contienne 

 et qui ait pour quotient |- (No. 9. Cbap. II). 



La longueur de chaque intervaüe de X^' est plus grande que 

 — r- Car s'il en existait un de longueur moindre, la longueur 



de chacun des autres ne pourrait etre plus grande que 2 ■ ^p, 

 la division ayant le quotient ^ et 



i + (r-i)f<«. 



Soit e/ le nombre des intervalles de Xf, situes dans les 

 intervaUes dj^' , et dans lesquels on ne peut trouver aucun point 

 satisfaisant ä la condition 



S{x) — m^^) < d. 



Je dis que e/ ' ^r ^ ^h ^^^ impossible. 

 Pour les points de /S^ 



S{x)-ga'^<Y- 

 Car pour S/^ on a 



et dans les dj^ nous avons de plus 



pour cliaque x. C'est ä dire que pour les points de ^S^^ 



S(x) — m^ix) < 6. 



Donc Sj^ ne peut avoir de points dans les intervaUes qui 

 sont au nombre de e^. 



