QUADEATUEE DES SUEFACES COUEBES. 25 



l'interieur des d.[ et dont les points et a ne fönt pas partie 

 quand ils appartiennent ä des d^, et dont les points satisfont ä 

 la condition S{x) ^c^. Ces points satisfont aussi ä la condition 

 S{x) > q. 



S^ n'existe pas necessairement. Mais lorsqu'il existe, il est 

 relativement parfait, soit d^ sa mesure {d^ ^ 0). 



Renfermons S^ dans des intervalles du nom collectif (^g', 

 situes sur (0, a) en nombre fini, n'ayant aucun point interieur 

 commun avec les d/, et ayant d^ + fg pour somme de leurs 

 longueurs. 



Lorsque d^-\- s^-}- d2<. a, nous prenons s^ > 0, mais 6?^ -j- ^i 

 + 6^2 + fg <C ö^; de plus les extremites des d^', sauf peut-etre les 

 points Oj a, et les extremites des d^', ne seront pas des points de S^. 



Dans le cas oü S^ n'existe pas, les d^' peuvent etre, si l'on 

 veut, des intervalles arbitraires, mais ayant toutes les proprietes 

 signalees ci-dessus (d^^OV). 



Lorsque dj^-\- £^-\- d2<. a, soit 8^ l'ensemble des points x de 

 (0, a) qui ne sont situes ni ä l'interieur des intervalles d^', d^ 

 ni aux extremites communes des d^, d.2, et dont les points et a 

 ne fönt pas partie, quand ils appartiennent ä des d.^ ou ä des d^', 

 et qui satisfont ä la condition S{x) < Cg. 



Si S^ existe il est aussi relativement parfait. Pour 8^ on 

 aura 8{x)^c^. Soit d^ la mesure de 8^. 



Renfermons 8^ dans des intervalles, nommes d.^\ en nombre 

 fini, situes sur (0, d), n'ayant aucun point interieur commun avec 

 les d^ et d^. Les extremites des d^ qui ne sont pas des extre- 

 mites de (0, a) et des d^', d^, ne doivent pas etre des points de 8^. 



Soit c?3 -f- £3 la somme des longueurs des d^'. Si d^-\- £^-\- d^ 

 -]- E^-^ d^<ia oVi prendra £3 > 0, mais d^-\- s^-\- d,^-\- e^-\- d^-\- s^<i a. 



Lorsque 8^ n'existe pas, les d^' peuvent etre, si l'on veut, des 

 intervalles arbitraires, ayant d'ailleurs les proprietes dejä signalees 

 (d^= Ol). Et ainsi de suite. 



Nous obtiendrons un nonibre entier positif p ^k — 1, tel que 



{d^ + 6,) + (d.^ + £2) + 1- (^^ + ^p) + ^^+1 = «; 



£,>0...£^>0. 



Les extremites des d^' forment evidemment - une division. 



