24 ZOARD DE GEÖCZE. 



Soient d et rj des nombres positifs^ donnes ä l'avance, et soit 

 Y^^, Y^, . . . Y^ , . . ., une suite de divisions de (0, h), d'ailleurs 

 arbitraire. 



Soit encore X^ une division de (0, a). 



Theoreme. II existe un nombre s entier, positif, fini, 

 et une division X^ de (0, a) qui a pour quotient ^, et qui 

 contient X^, de maniere que, e etant le nombre des points 

 diviseurs de Xj qui ne satisfont pas ä l'inegalite 



S{x?) - mXx,) < d, 



on ait pour chaque s^ s' l'inegalite 



e <il ■ rj. 

 Demonstration. 



a) Soit Je un nombre assez grand pour qu'en partageant 

 l'intervalle (c, d) en h parties egales, ces parties soient toutes 



moindres que y' Soient 



c = c^<c, <■ ■■<€,<... <c,^d, 



les extremites de ces intervalles et soit S^ l'ensemble de ces x 

 pour lesquels S(x)^c^^. 



Cet ensemble existe, et il est relativement parfait (No. 1. 

 Chap. III). 



Soit d^ sa mesure* qui peut etre aussi egale ä zero. 



Renfermons S^ dans des intervaUes en nombre fini, situes 

 sur (0, a) et ayant d^ -\- s^ pour somme de leurs longueurs. Soit 

 d^ le nom collectif de ces intervalles. Si d-^ < a, on prend s^ > 0, 

 mais £?i + £j < a. 



Lorsque d^<^a, les extremites des d.^ sont prises de fa^on 

 qu'elles ne soient pas des points de S^, sauf peut etre les points 

 et a. 



Lorsque d^ < a, soit S^ l'ensemble qui n'a pas de points ä 



* La mesure (exterieure et lineaire) d'un ensemble situe sur (0, a) est 

 la quantite X[iJ, [ij etant egal ä x^^^ — x^ lorsque (ic^, x^^^) contient au 

 moins un point de l'ensemble, ä dans le cas contraire. On a a>X[^]^0. 

 II est impossible de renfermer l'ensemble dans un nombre limite d'inter- 

 valles, dont la somme des longueurs serait plus petite que d. Voir: Jokdan, 

 Cours d'analyse (2), Paris 1893, 1, p. 28. 



