QUADRATURE DES SURFACES COURBES. 23 



Soit par exemple S{x') = g. Si k est assez grand, on aura 



g — m,^{x') < ", et wif.^x) est continu. Par suite, ou bien on aura 



g — 'nik{x) <C ö dans rintervalle total (x', x"), ou bien il existera 

 un point x^^, situe ä l'interieur de (x', x"), tel que Ton ait 

 g — m^ (x) < d dans (x', x^, mais g — ?Wj (Xj) = d. Mais, pour un 



certain \'^'k, on a g — w^^ (icj < -^ ■ Car 

 lim m;^{x) = S(x)^g. 



Ou bien dans (x', x") on a g — m^ (^)< ^ ? ou bien il existe 

 un X2 et un Jc^, etant en meme relation avee x^, comme x^ et h^ 

 l'etait avec x\ 



Bi, en continuant ee procede^ nous atteignons x" ä l'aide des 

 points x^, x^, . . ., en nombre fini, le tbeoreme sera demontre, en 

 prenant s plus grand que le dernier des ]i^,Ji^,.., Mais les 

 points X-^^ <i x^ <.•'•<. x^ <.•■• , sont necessairement en nombre 

 fini*, car s'il n'en etait pas ainsi, on aurait: 



lim x^=^ ^ ^ x". 



Soit ^ <C x"- alors d,ans (x', |) et dans cbaque voisinage de |, il 

 j- aurait des points ;r tels que 



g - m^{x) ^ d, 

 pour cbaque nombre entier s. Mais il existe un nombre p, tel que 



9-m^{l)<^, car S{l)>g, 



et comme vn {pc) est continu, il existe pour | un voisinage pour 

 lequel g — ^^{x) < d. Ainsi § < x" est impossible, et l'on de- 

 montre de la meme maniere que | = x" est aussi impossible. 



On voit de plus aisement que, si d est un nombre positif 

 donne ä l'avance, et Xj une division, on peut trouver un nombre 

 entier s', tel que Ton ait si, s ^ 5', pour cbaque point x de (x^, ^j+i) 

 fi^i, ^i+i) - ^si^) <^, {i = 0,l ..., l-l). 



2. Soit c et ^ respectivement la limite inferieure et superieure 

 des valeurs de S(x) et soit d fini, comme pour notre surface. 



* On peut d^montrer le theoreme ä l'aide d'un theoreme de M, Bökel, 

 göneralise par M. Lebesgue. Voir: Lebesgue. Le9ons sur l'integration. p. 105. 



