QUADEATUEE DES SURFACES COURBES. 21 



Et on a 



Donc 

 et ainsi 





X Y T 



ly^ mcc i, j 



existe et a une valeur finie. 



De plus, Xf Y^j^f etant une suite quelconque de divisions (de 

 premiere espece ou non), las valeurs Limites de la suite des va- 

 leurs X/ Y' t,- . coincident avec X, Y^ x. ,. 



Ce theoreme s'etablit de la meme maniere que celle qui fut 

 employee par L. Scheefpee, pour demontrer l'existence de la 

 longueur d'une courbe, c'est ä dire ä l'aide de la superposition 

 des divisions des deux suites, et de la continuite^ ce principe 

 etant exprime par les quatre premieres inegalites. 



Donc XYx. , existe et a une valeur finie. 



2. ^^, (s = 1, 2, . . .) etant une suite de polyedres, teUe que 

 Celles que nous avons decrites au Chap. I, nous allons demontrer que 



lim /ij'^t. 



S= CO 



Designons par z/^'-? la partie de zJ^ qui est situee au-dessus 

 de l'interieur de {x-, x.^^'^ y^, Pj^^) et au-dessus de A^JB^ A-^D^.* 



Soit ^\;H son aire. Nous prendrons s assez grand de fa9on 

 que z/^'-' existe pour chaque i et j. 



Soient A. ^, B^ ^, C,. j les aires des figures qu'on obtient en 

 projetant orthogonalement les points de ^^'^ sur les plans xy, 

 xz,yz. On voit qu'en prenant s assez grand, on aura ou ^^ .= cc^ ., 

 ou \A^j— a^^j\ aussi petit qu'on le veut, ou bien S. ^^ /3. ., ou 

 ßij— JB.^j aussi petit qu'on le veut; il en est de meme pour 



Mais d'apres la geometrie elementaire: 

 OU, d'apres ce qui precede : 



* II convient de remarquer qu'une ligne droite normale au plan xy 

 peut couper Jg en plusieurs points, et de plus que J^ peut avoir des faces 

 normales au plan xy de maniere que J^'J peut etre constitue par plusieurs 

 portions, lignes polygonales et points isoles. 



