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6. En admettant ces theoremes que nous donnons saus 

 demonstrations, il resulte des No. 3., 4. et de la fin du Chap. I que 

 Faire de notre premiere surface est finie. 



Chapitre VI 

 Pour notre surface XTtij existe, et lim Ast>t. 



1. Pour notre surface t est fini et determine, c'est ä dire que 

 X. Yr^ ^ existe et a une valeur finie. 



Pour demontrer ce fait, nous remarquerons que 



^/ + 1 



=J^m, 1 /"(^^ 2/y+i) - fi^^ Vj) I dx < S{x,^^ - a;.)* 

 ^; 



et de meme _ 



Designons de plus par e^ la limite superieure des valeurs de 



\f(^,yj+i)-f('^,yi)\, \f{^i+i,y)-f{^i,y)\, 



nous aurons lim e^ = — la surface etant continue, 

 On aura 



et de plus _ _ 



De la signification geometrique des a-^, ß.j, y.j on conclura 

 qu'en partageant le rectangle a^. ^ en plusieurs autres (n'impietant 

 Tun sur l'autre et remplissant a. ^) les quantites analogues ä a^ . 

 ont pour somme a.^j, les quantites analogues ä ß^ j ont pour somme 

 Tine valeur^ ß-^j, et de meme pour les quantites analogues ä y^. ,. 



Donc, si X^ Y^ est une suite de divisions, il resulte du No. 3 

 du Chap. IV que la suite des valeurs de X^ Y^^^ r- j est une suite 

 de valeurs non decroissantes. 



* Car on a _ 



Ym, I /■(*, Vj + 1) - m yj) I < J{^) <s. 



Dans tout ce que suit on pourrait prendre au Heu de S un J, tel que 



J(x)<:J, J{y)<J. 



