QüADKATURE DES SURFACES COUEBES. 19 



Chapitre V. 

 Indication des surfaces ayant une aire flnie. 



a a 



1. j J{oc)dx et />S(a;)6?rr sont toutes ä la fois finies ou infinies. 







a a 



2. fj{x)dx = Y^^ {f(Jyi^, Vj+d - Jy^-x, yP) dx) 

 ^ \ 



a 



= Y [f\f{x, y,^,) - fix, y^ | ^^) = X T^. ,. 



3. Soit 



XYx,^^^XYx\j^t. 



t et la somme des deux integrales par defaut 



a b 



j J(x) dx, I J(y) dy 



_0 _0 



sont ä la fois finies ou infinies.* 



4 Les surfaces qui ont une aire (I\^ . . ., Tg) finie, sont Celles 

 pour lesquelles t est fini. De meme, si l'aire est finie, t est 

 aussi fini. 



5. II existe pour chaque surface, ayant une aire infinie, un 

 ensemble de points situe sur eile et relativement parfait, tel que 

 l'aire d'une portion de la surface soit finie ou infinie, suivant que 

 cette portion ne contient aucun point de l'ensemble^ ou renferme 

 au moins un point de cet ensemble. Si nous donnons un en- 

 semble relativement parfait, situe dans (0, a; 0, h) il y a des 

 surfaces sur (0, a; 0, h) pour lesquelles l'ensemble decrit ci dessus 

 a comme projection sur le plan xy l'ensemble donne. 



II y a en particulier des surfaces, dont l'aire est infinie pour 

 chaque portion arbitraire de la surface. 



Remarque. On a un theoreme analogue pour la longueur 

 d'une ligTie courbe = q{x), q etant une fonction uniforme, bornee 

 et continue de x. 



* Voir: Z. de Geöcze: Az = f{x,'i/) felület quadraturäja. Elsö r^sz. 

 1906. Ungvär. Comptes Rendus 1907, fev. 14. 



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